数学基础 | 杨星宇

导读

这一系列建立其他数学笔记会反复使用的语言。先学习命题与证明方法，再依次进入集合与可数性、函数、数列和有限求和。数系解释算术怎样支撑算法，不等式与复数则为后续问题补充工具。

可数性先在集合章定义，再通过映射和数系逐步应用。数列章分清指标与取值，有限求和章提供代数工具；系统的收敛判别留在微积分中。掌握这里的实用证明方法后，可以沿离散数学系列继续学习形式语义、自然演绎和自动推理。

阅读路径

论域、谓词、量词、公理与推理规则，建立阅读和书写数学证明所需的实用语言。

从真值表理解逻辑等价，区分否命题与命题的否定，再用充分必要条件、完整证明和练习落实这些变换。

展开定义、构造见证、检查代数操作条件，并通过五道练习写出完整直接证明。

分类的穷尽性、余数类、边界与对称性，并区分输入分类和多个证明目标。

选择逆否证明或反证法，写全否定，并明确指出发生冲突的假设与事实。

归纳起点、普通与强归纳、递推依赖，以及经过核对并附折叠解析的求和恒等式。

从元素与子集出发，学习集合构造、有限性与可数性、逐元素证明，并初步比较集合论体系。

从定义域与像出发，用单射和双射比较集合的势，再讨论复合与逆函数。

区分数列的指标集与实际值集，理解有限与无限、递推定义、等差等比数列，以及级数与部分和。

围绕有限指标集学习换元、裂项相消、分部求和与多重求和，明确边界和重复次数。

从数系的可数性、域与完备性，走向整数运算、算法不变量和结构递归。

从合法变形和等号条件出发，学习三角与均值不等式、柯西–施瓦茨、重排，以及完整的应用证明。

从实数有序对构造复数，连接几何不等式、辐角、指数、复根与多项式分解，配有分层练习与解答。

沿朴素集合论、函数与映射、数列、有限求和四章建立数学基础语言。