数列与级数

序列是以有序指标集为定义域的函数。这个角度能区分一列数值与集合，说明递推定义需要什么，并明确部分和究竟包含哪些项。先阅读函数与映射，求和的具体操作则放在下一篇有限求和与求和技巧中。

本章先讨论数列的项，再通过部分和引入级数。这里只说明收敛的基本含义；收敛判别与无穷求和的系统理论留到微积分中的无穷级数展开。

指标是定义的一部分

定义数列的定义与记号

集合 $X$ 中的无限序列是函数 $x:\mathbb N\to X$，记 $x(n)=x_n$。这里 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$，整个序列写成

$$\{x_n\}_{n=0}^{\infty}=(x_0,x_1,x_2,\ldots).$$

当各项都是数时，称为数列；例如 $X=\mathbb R$ 时是实数列。单个 $x_n$ 表示指标为 $n$ 的项，而 $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ 表示整个数列。

这里采用常见的花括号记法 $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$；圆括号记法 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 也表示同一个数列。数列记号中的花括号不表示忽略顺序和重复的普通集合：例如数列 $(1,1,2)$ 有三项，而它的值组成的集合 $\{1,2\}$ 只有两个元素。判断含义时要结合指标范围和上下文。

括号外的下标 $n=0$ 指明从哪个指标开始，上标 $\infty$ 表示指标依次无限延续；它不是幂，也不是某个取值为“无穷”的末项。这个记号列出各项，并不表示求和。也可以用 $a_n$ 等字母表示项，指标范围明确时常简写为 $\{x_n\}$ 或 $(x_n)$。

从 $1$ 开始同样可以，此时写作

$$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}=(x_1,x_2,x_3,\ldots).$$

长度为 $N\ge1$ 的有限序列则是定义在 $\{0,\ldots,N-1\}$ 上的函数，记作

$$\{x_n\}_{n=0}^{N-1}=(x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}).$$

这里共有 $N$ 项，最后一个指标是 $N-1$。$N=0$ 时，定义域为空集，得到空序列。

顺序和重复都重要。$(2,2,5)$ 与 $(2,5,2)$ 是不同序列，虽然数值组成的集合都是 $\{2,5\}$。实数列取值于 $\mathbb R$，序列也可以由向量、函数、符号等对象组成。给出数学定义，不一定就给出了高效计算任意项的算法。

例如，指标为 $i=1,\ldots,10$，令 $a_i$ 为 $i+1$ 的最小素因子，得到 $(2,3,2,5,2,7,2,3,2,11)$。由于 $i+1>1$，每一项都有定义。指标范围也避免了误要求计算 $1$ 的素因子。

分清指标集、陪域与实际值集

序列是函数，因此要区分三件事：用哪些指标编号、允许取哪些值、实际出现了哪些值。朴素集合论已经定义有限、可数无限与不可数；这里必须先明确，我们在谈哪一个集合的大小。

下面三个例子的陪域都是不可数的 $\mathbb R$，实际出现的值却少得多。

序列	指标集	实际值集
$(2,2,5)$	$\{0,1,2\}$，有限	$\{2,5\}$，有限
$n\ge0$ 时 $x_n=7$	$\mathbb N$，可数无限	$\{7\}$，有限
$n\ge0$ 时 $x_n=2n$	$\mathbb N$，可数无限	非负偶数集，可数无限

无限序列有无限多个位置，却不一定有无限多个不同的值。它的实际值集至多可数：给每个值分配首次出现的指标，就得到到 $\mathbb N$ 的单射。因此，一个普通实数序列无法列出全部实数。$\mathbb R$ 不可数的证明见数系、算法与递归。

更一般地，函数 $x:I\to X$ 称为指标族，记作 $(x_i)_{i\in I}$。这里 $I$ 可以不可数，例如对每个 $t\in\mathbb R$ 定义 $x_t=t$。这样的族不是通常以自然数为指标的序列。若指标取自序数，则称为超限序列；序数指标本身可能可数，也可能不可数。这些扩展留给后续集合论，不混入下面的等差、等比数列主线。

还有一个容易混淆的层次：所有无限二进制序列组成的集合不可数，但其中每个序列都只有可数多个位置，最多出现两个不同的值。本章末尾的探索会说明这一点。

显式公式与递推描述

$a_n=2n+4$ 这样的显式公式直接由指标给出值；$a_{n+1}=a_n+2$ 配合 $a_0=4$，则通过相邻项的关系定义同一序列。递推式与初始数据缺一不可。

仅有 $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$ 不能唯一确定序列。加入 $a_0=4,a_1=6$ 后，得到已在数学归纳法中证明的 $a_n=2n+4$。不同初值通常产生不同解。更复杂的递归对象和终止性论证放在数系、算法与递归中。

“闭式”取决于允许使用哪些运算和函数。一个上限含变量的有限和，不会因此变成无限表达式；上限增加可能带来更多计算，但计算成本与项数是否有限是不同问题。

等差数列

定义一阶差分恒定

等差数列满足 $a_{n+1}-a_n=d$，其中 $d$ 为固定常数。初项为 $a_0$ 时，显式公式为 $a_n=a_0+nd$，$n\ge0$。

公式可以归纳证明：在 $0$ 处成立，再加上 $d$，就把 $a_0+nd$ 变成 $a_0+(n+1)d$。英文名称是 arithmetic sequence，指固定差分，不是描述计算步骤的 algorithmic sequence。

记前 $N$ 项之和为 $S_N$，即从 $a_0$ 加到 $a_{N-1}$。把这个和分别按正序、逆序写出，每个位置配对的两项指标和为 $N-1$，因此每对的和都是 $2a_0+(N-1)d$，得到

$$S_N=\frac N2\bigl(2a_0+(N-1)d\bigr).$$

两个和相加后共有 $N$ 对，再除以 $2$ 纠正重复。$N=0$ 时结果为零，与空和一致。若从 $a_1$ 开始，相应公式就应使用初项 $a_1$ 和末指标 $N$。

等比数列

定义乘法步长恒定

等比数列满足 $a_{n+1}=ra_n$，其中 $r$ 固定，显式形式为 $a_n=a_0r^n$。此公式中的零次幂是常数 $1$，在 $r=0$ 时也采用这个多项式约定。

即使某些项为零，递推定义仍然有意义；若仅通过比值 $a_{n+1}/a_n$ 定义，就会排除这些情形。对前 $N$ 项，把 $rS_N$ 从 $S_N$ 中减去，中间项抵消：

$$(1-r)S_N=a_0(1-r^N).$$

于是

$$S_N= \begin{cases} \displaystyle a_0\frac{1-r^N}{1-r},&r\ne1,\\ Na_0,&r=1. \end{cases}$$

$r\ne1$ 的限制来自除法，不是等比数列定义的要求。即使 $|r|\ge1$，有限和公式也成立。无限求和则是另一项极限问题，熟悉的极限 $a_0/(1-r)$ 在 $|r|<1$ 时适用，收敛性会在无穷级数中展开。

通项、部分和与无穷级数

对从零开始的序列，定义

$$S_N=\sum_{n=0}^{N-1}a_n, \qquad S_0=0.$$

原序列列出各项，$(S_N)$ 列出累计的和，可以通过 $a_N=S_{N+1}-S_N$ 找回一项。讨论无穷级数，就是研究部分和序列是否收敛；写下无限多个项，并不会自动给出一个有限和。

例如，$a_n=1$ 的部分和为 $S_N=N$，不趋近任何有限实数。$a_n=2^{-n}$ 则有 $S_N=2(1-2^{-N})$，趋近 $2$。这说明无限序列定义清楚，与它的级数收敛是两回事。

示性序列连接集合与求和

把有限全集不重复地列成 $U=\{x_1,\ldots,x_N\}$。子集 $A\subseteq U$ 的示性序列定义为

$$\chi_A(i)= \begin{cases} 1,&x_i\in A,\\ 0,&x_i\notin A. \end{cases}$$

子集本身没有顺序，但示性序列依赖选定的列举顺序。例如，按 $U=(1,3,5,7,9)$ 排列时，素数子集对应 $(0,1,1,1,0)$，三的倍数子集对应 $(0,1,0,0,1)$。注意 $1$ 不是素数。

对每个指标，

$$\chi_{A\cap B}(i)=\chi_A(i)\chi_B(i),$$ $$\chi_{A\cup B}(i)=\chi_A(i)+\chi_B(i)-\chi_A(i)\chi_B(i),$$

并有 $\chi_{U\setminus A}(i)=1-\chi_A(i)$。此外，$A\subseteq B$ 当且仅当每个指标都满足 $\chi_A(i)\le\chi_B(i)$。计数则写成

$$|A|=\sum_{i=1}^{N}\chi_A(i).$$

这些公式都可以用两个示性值的四种组合检查，具体连接了集合、布尔值和有限求和。

练习

练习分清长度与末指标

设 $a_n=3+2n$，$n\ge0$。求 $a_4$ 及前五项之和。从指标 $0$ 到指标 $N$ 一共有几项？

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解

$a_4=11$。前五项为 $3,5,7,9,11$，和为 $35$。从 $0$ 到 $N$ 共有 $N+1$ 项，而前 $N$ 项的末指标是 $N-1$。

练习检查特殊公比

对 $a_n=4r^n$，分别取 $r=1,0,-1$，求前三项之和，并与有限等比求和公式核对。

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解

三种情况下的项分别为 $(4,4,4)$、$(4,0,0)$、$(4,-4,4)$，和为 $12,4,4$。第一种要使用单列的 $r=1$ 分支，其余两种来自 $4(1-r^3)/(1-r)$。这里不涉及无穷级数的收敛条件。

练习二次部分和不能漏查第一项

本题从 $a_1$ 开始。设 $\alpha\ne0$，且对每个 $n\ge1$ 都有

$$S_n=\sum_{j=1}^{n}a_j=\alpha n^2+\beta n+\gamma.$$

求 $a_n$，并判断整个数列何时为等差数列。

查看解析

解

第一项为 $a_1=S_1=\alpha+\beta+\gamma$。$n\ge2$ 时，

$$a_n=S_n-S_{n-1}=\alpha(2n-1)+\beta.$$

从 $a_2$ 开始，差分恒为 $2\alpha$，但 $a_2-a_1=2\alpha-\gamma$。所以整个数列为等差数列，当且仅当 $\gamma=0$。题目只在 $n\ge1$ 声明了部分和公式，不能擅自代入 $n=0$ 并认定 $S_0=\gamma$；实际空和为零。

练习从示性序列还原子集

按 $U=(a,b,c,d)$ 排列，设 $\chi_A=(1,0,1,0)$、$\chi_B=(0,1,1,0)$。求 $A\cap B$、$A\cup B$ 及各自大小。

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解

交集示性序列为 $(0,0,1,0)$，所以 $A\cap B=\{c\}$，大小为一。并集示性序列为 $(1,1,1,0)$，对应 $\{a,b,c\}$，大小为三。各自的示性值之和就是所选元素数。

练习初始数据要给够

解释为什么 $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$（$n\ge1$）配上 $a_0=4$，仍不能确定唯一序列。

查看解析

解

取 $a_1=6$ 得到 $a_n=4+2n$，取 $a_1=4$ 则得到常数列 $a_n=4$。二者都满足给定递推与唯一的初始值，因此还需要第二个起始值来区分。

练习无限多个位置不等于无限多个值

比较实数列 $x_n=(-1)^n$ 与 $y_n=n$，两者都以 $n\in\mathbb N$ 为指标。分别说明指标集、陪域、实际值集的大小。

展开解答

解

两个指标集都可数无限，声明的陪域 $\mathbb R$ 都不可数。$x$ 的实际值集是有限集 $\{-1,1\}$；$y$ 的实际值集是 $\mathbb N$，可数无限。两者都没有列尽陪域中的所有实数。

练习有限二进制串与无限二进制序列

为什么全部有限二进制串组成的集合可数，而全部无限二进制序列组成的集合不可数？有限情形包括空串。

展开讨论

解

先按长度排列，同一长度内再按字典序排列：空串、$0$、$1$、$00$、$01$、$10$、$11$，依此类推。长度为 $m$ 的串只有 $2^m$ 个，所以每个固定的有限串前面只有有限多个串，一定会排到它。这就得到可数无限的列表。

对无限序列，假设存在列表 $s^{(0)},s^{(1)},\ldots$，其中第 $k$ 行第 $n$ 位为 $s^{(k)}_n\in\{0,1\}$。定义 $d_n=1-s^{(n)}_n$，则 $d$ 在第 $k$ 位与第 $k$ 行不同，因而不等于任何一行。每个候选列表都会遗漏一个无限序列。这与朴素集合论中幂集的对角线论证相对应：$\mathbb N$ 的每个子集，都对应一个记录成员资格的无限二进制序列。