数学推理从能够被明确判断的陈述开始。原项目先介绍命题，再说明公理、定义和定理在一个数学体系中分别扮演什么角色。

定义命题

命题是一个陈述句，并且它要么为真，要么为假。这个句子的含义必须足够明确，才能判断它的真值。

疑问句、祈使句和主观意见通常不属于这里所说的命题。命题可以是假的，但仍然是命题。例如“所有素数都是偶数”是假的，却仍然是一个具有确定真值的陈述。

公理系统的组成

一个公理系统包含形式语言、公理、定义和推理规则。常见的角色区分如下：

  • 公理是被选作出发点的陈述。
  • 定义规定术语的含义，通常不把它归类为真或假。
  • 定理是由公理、定义和已有结果推出的命题。
  • 引理通常是为了证明其他结果而准备的定理。
  • 推论是由定理或引理直接得到的结果。

这些角色依赖于所选的形式体系。同一个陈述在一个体系中可能是公理，在另一个体系中则可能是可证明的定理。

例一个简单的代数推导

对整数 m,nm,n，幂的运算法则给出

aman=am+na^m a^n=a^{m+n}

如果加法满足交换律，那么 m+n=n+mm+n=n+m，于是

aman=am+n=an+m=anama^m a^n=a^{m+n}=a^{n+m}=a^n a^m

这个推导依赖幂的运算法则和加法交换律，而不是只凭直觉得出结论。

一致性、独立性与完备性

定义一致性

如果一个形式系统不会同时推出某个命题 PP 及其否定 ¬P\neg P，就称它是一致的。

定义独立性

如果一个公理不能由其余公理推出，就称它相对于其余公理独立。删除独立公理后，理论可能变得更弱。

定义完备性

如果系统语言中的每个句子都能由系统推出其本身或其否定，就称该系统完备。这里说的是形式理论的性质，不是说它包含所有数学真理。

欧氏几何的第五公设是独立性的经典例子。把它替换成不同的平行公设，会得到非欧几何。这并不意味着数学没有真理，而是说明结论必须放在相应的公理和推理规则中理解。