复数扩展了实数，使方程 x2=−1x^2=-1 在新的数系中有解。定义虚数单位 ii 满足

i2=−1i^2=-1

每个复数都可以写成 z=a+biz=a+bi，其中 a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}。aa 是实部，bb 是虚部。

几何与极坐标形式

把 z=a+biz=a+bi 看成平面向量，可以定义模长

∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

若 z≠0z\ne0，还可以写成极坐标形式

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

乘法和除法在极坐标中分别对应模长相乘或相除、辐角相加或相减。

指数形式与复根

Euler 公式给出

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

因此 z=reiθz=re^{i\theta}。De Moivre 定理为

(reiθ)n=rneinθ(r e^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}

它可以用来求幂、求逆和求复数的 nn 次根。求根时，辐角会相差 2π/n2\pi/n，所以通常会得到 nn 个不同的根。

原项目中的复平面、向量图和极坐标图已经在迁移清单中标为待转换资产。英文正文的公式和证明会继续逐节检查。