间接证明 | 杨星宇

间接证明不直接从假设推到结论，而是证明否定目标会导致矛盾，或者证明原命题的逆否命题。两者的逻辑结构不同，但都能在直接证明不方便时发挥作用。

反证法

反证法假设目标命题为假，然后从这个假设推出不可能的结果。矛盾必须明确违反定义、已知定理或题目假设。

例$\\sqrt{2}$ 是无理数

证明单位正方形的对角线长度 $\sqrt{2}$ 是无理数。

证明

反设 $\sqrt{2}=p/q$ 是有理数，并且 $p,q$ 互质、 $q\ne0$ 。平方得到

p^2=2q^2

因此 $p^2$ 是偶数，进而 $p$ 是偶数。写成 $p=2r$ 后代回上式，得到 $q^2=2r^2$ ，所以 $q$ 也是偶数。这与 $p,q$ 互质矛盾。因此 $\sqrt{2}$ 不是有理数。

要证明 $P\to Q$ ，可以证明等价的命题 $\neg Q\to\neg P$ 。例如，若要证明“ $n^2$ 为偶数则 $n$ 为偶数”，就证明“ $n$ 为奇数则 $n^2$ 为奇数”。

反证法和逆否命题证明都可能从目标的否定或反面出发，但前者必须推出矛盾，后者则是直接证明一个逻辑等价的条件命题。

练习不存在最小的正有理数

证明不存在最小的正有理数。

解

反设 $p/q$ 是最小的正有理数，其中 $p,q>0$ 。那么 $p/(2q)$ 仍是正有理数，而且

0<\frac{p}{2q}<\frac{p}{q}

这与 $p/q$ 的最小性矛盾，所以不存在最小的正有理数。