逆命题、否命题与逆否命题 | 杨星宇

设条件命题为

$P\to Q$

其中 $P$ 是条件， $Q$ 是结论。几个相关命题如下：

逆命题和否命题彼此等价，但通常都不等价于原命题。逆否命题与原命题等价：

P\to Q\quad\Longleftrightarrow\quad\neg Q\to\neg P

例逆命题不一定成立

“一个整数如果能被 $4$ 整除，那么它是偶数”是真的。但逆命题“一个整数如果是偶数，那么它能被 $4$ 整除”是假的，因为 $2$ 是偶数，却不能被 $4$ 整除。

例用逆否命题证明

要证明“如果 $n^2$ 是偶数，那么整数 $n$ 是偶数”，可以证明它的逆否命题。若 $n$ 是奇数，则 $n=2k+1$ ，其中 $k$ 是整数。于是

n^2=(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1

所以 $n^2$ 是奇数。因此 $n^2$ 为偶数时， $n$ 不可能是奇数，只能是偶数。

逆否命题的等价性是一种逻辑变换。它不能把逆命题变成真命题，也不应和反证法混为一谈。

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