逆命题、否命题与逆否命题

“一个整数能被 $4$ 整除，就一定是偶数”是真的。把条件和结论对调，会得到一个假命题；对调后再同时取否定，却能保留原命题的真假。分清这几种操作，不只是为了记住名称，更是为了判断：证明时究竟可以把原目标换成什么。

本文沿用命题与公理系统的约定，在经典逻辑中讨论，并固定论域与解释。符号 $\equiv$ 表示逻辑等价，即两个公式在每一种真值赋值下都同真同假，而不只是某个例子恰好相同。条件命题和双条件命题的真值规则，也可参阅 MIT 的证明入门讲义 [1][1] T. Leighton and R. Rubinfeld, “What Is a Proof?,” 2006. MIT 6.042/18.062J lecture notes, September 7, 2006. https://web.mit.edu/neboat/Public/6.042/proofs.pdf。

一个条件命题的四种形式

在 $P\to Q$ 中，$P$ 是条件，$Q$ 是结论。条件命题只有在“条件真、结论假”时为假，其余三种情况都为真，包括条件不成立的情况。

名称	形式	操作
原命题	$P\to Q$	保持不变
逆命题	$Q\to P$	对调条件与结论
否命题	$\neg P\to\neg Q$	两边同时取否定
逆否命题	$\neg Q\to\neg P$	对调后两边取否定

变换时，论域保持不变。如果原来讨论的是“对每个整数 $n$”，变换后仍然讨论每个整数 $n$。悄悄更换论域或删掉前提，就已经不只是改写逻辑形式了。

例用同一个整数例子比较四种形式

令 $P(n)$ 表示“$4$ 整除 $n$”，$Q(n)$ 表示“$n$ 是偶数”。下面每句话都对所有整数 $n$ 作出断言。

• **原命题：**若 $4$ 整除 $n$，则 $n$ 是偶数。它是真的，因为此时存在整数 $k$，使 $n=4k=2(2k)$。
• **逆命题：**若 $n$ 是偶数，则 $4$ 整除 $n$。它是假的，$n=2$ 就是反例。
• **否命题：**若 $4$ 不整除 $n$，则 $n$ 不是偶数。它也是假的，$n=2$ 仍是反例。
• **逆否命题：**若 $n$ 不是偶数，则 $4$ 不整除 $n$。它是真的，因为 $4$ 的倍数必然是偶数。

逆命题与否命题被同一个反例推翻。在这两种形式里，$n=2$ 都使各自的条件成立、结论不成立。

为什么只有两对等价关系

原命题与逆否命题是一对，逆命题与否命题是另一对。要说明这种关系对任意命题都成立，不能只举一个整数例子，而应检查全部真值组合。

$P$	$Q$	$P\to Q$	$\neg Q\to\neg P$
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	T

后两列逐行相同。也可以直接追问逆否命题何时为假：必须是 $\neg Q$ 真、$\neg P$ 假，也就是 $P$ 真、$Q$ 假。这恰好也是原命题唯一为假的情况。因此，

$$(P\to Q)\equiv(\neg Q\to\neg P).$$

再把同一结论用于 $Q\to P$。它的逆否命题是 $\neg P\to\neg Q$，所以

$$(Q\to P)\equiv(\neg P\to\neg Q).$$

这两对之间一般不等价。例如，$P$ 真、$Q$ 假时，原命题为假，逆命题却为真。不过，在某些取值下它们也会同真同假。“一般不等价”并不是“真假永远相反”。

图中标出了两对等价关系，真值表则解释了为什么这些关系成立。记住图的位置关系之后，仍应能说出相应的理由。

否命题不等于原命题的否定

否命题把两个组成部分分别取否定，但仍保留“若……则……”的结构。对整个条件命题取否定，则要指出它唯一不成立的情况：

$$\neg(P\to Q)\equiv(P\land\neg Q).$$

例如，“若 $4$ 整除 $n$，则 $n$ 是偶数”的否定是“$4$ 整除 $n$，而且 $n$ 不是偶数”。它并不是“若 $4$ 不整除 $n$，则 $n$ 不是偶数”，后一句才叫否命题。

如果原命题还带有全称量词，否定整个断言时，量词也必须改变：

$$\neg\bigl(\forall x\in D,\ P(x)\to Q(x)\bigr) \equiv \exists x\in D,\ P(x)\land\neg Q(x).$$

这就解释了为什么一个反例足以推翻全称条件命题：它必须满足条件，却不满足结论。相比之下，写逆否命题时，全称量词和论域都保持原样。

注否定的是完整条件

$x>0$ 的否定是 $x\le 0$，不是 $x<0$。遇到复合条件，还要使用德摩根律：

$$\neg(A\land B)\equiv\neg A\lor\neg B,$$$$\neg(A\lor B)\equiv\neg A\land\neg B.$$

例如，对实数 $x,y$，“若 $x>0$ 且 $y>0$，则 $xy>0$”的逆否命题是“若 $xy\le 0$，则 $x\le 0$ 或 $y\le 0$”。只改不等号、仍保留“且”，就没有正确否定整个条件。

充分条件、必要条件与充要条件

说 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，意思是有了 $P$ 就足以保证 $Q$。说 $Q$ 是 $P$ 的必要条件，意思是没有 $Q$ 就不可能有 $P$。两句话都表示 $P\to Q$，只是观察同一方向的角度不同。

表述	逻辑形式
$P$ 是 $Q$ 的充分条件	$P\to Q$
$Q$ 是 $P$ 的必要条件	$P\to Q$
只有 $Q$，才有 $P$	$P\to Q$
如果 $Q$，那么 $P$	$Q\to P$
$P$ 当且仅当 $Q$	$P\leftrightarrow Q$

能被 $4$ 整除，是一个整数为偶数的充分条件；是偶数，则是它能被 $4$ 整除的必要条件，却不是充分条件，反例仍是 $2$。证明“当且仅当”时，需要证明原命题和逆命题两个方向。证明了原命题，再证明逆否命题，只是把同一方向证明了两遍。

也可以从集合包含关系理解。固定论域 $D$，令 $A$ 收集满足 $P$ 的对象，$B$ 收集满足 $Q$ 的对象。全称条件命题表示 $A\subseteq B$；逆否命题则表示

$$D\setminus B\subseteq D\setminus A.$$

这两个包含关系都排除了“在 $A$ 中却不在 $B$ 中”的对象。逆命题要求 $B\subseteq A$，这是额外的条件；两个方向都成立，才有 $A=B$。

完整写一遍逆否证明

命题平方为偶数的整数也是偶数

对每个整数 $n$，若 $n^2$ 是偶数，则 $n$ 是偶数。

原条件描述平方，结论描述整数本身。直接从平方反推未必方便，而从奇数出发可以立刻写出代数表达式，再计算平方。因此，逆否命题提供了更顺手的起点。这里使用一个已有事实：每个整数恰好是偶数或奇数之一。这来自除以 $2$ 时余数只能是 $0$ 或 $1$。

证明

任取整数 $n$。我们证明：若 $n$ 不是偶数，则 $n^2$ 也不是偶数。根据整数的奇偶分类，可以写成 $n=2k+1$，其中 $k\in\mathbb Z$。于是

$$\begin{aligned} n^2&=(2k+1)^2\\ &=4k^2+4k+1\\ &=2(2k^2+2k)+1. \end{aligned}$$

由于 $2k^2+2k$ 是整数，$n^2$ 是奇数，因而不是偶数。逆否命题得证，原命题也随之成立。又因为 $n$ 是任取的，这一结论适用于所有整数。

论域在这里有实际作用。若讨论实数，就不能把“不是偶数”直接改成“是奇数”；上述二分依赖于整数的奇偶性质。另外，从“$n$ 是偶数”出发证明“$n^2$ 是偶数”，得到的是逆命题，单独证明它还没有完成本题。

逆否证明与反证法有什么区别

逆否证明从 $\neg Q$ 出发，目标是推出 $\neg P$。用反证法证明 $P\to Q$ 时，则假设整个条件命题不成立，即同时假设 $P$ 与 $\neg Q$，再导出矛盾。如果原定理带有全称量词，反证法的起点就是假设反例存在，并取出这样一个对象。

两种写法有联系，证明逆否命题的过程中也可以使用反证法。不过，上面的奇偶证明直接从奇整数算出了奇数平方，全程不需要额外假设 $n^2$ 是偶数。选方法时，应看哪一种假设更便于展开定义或利用结构，并明确写出当前已知什么、还需证明什么。后面的间接证明会继续练习这些方法。

练习

练习保持论域不变

对实数 $x$，考虑“若 $x>2$，则 $x^2>4$”。写出逆命题、否命题和逆否命题，判断各个全称断言的真假；为假的给出反例。

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解

原命题为真。逆命题是“若 $x^2>4$，则 $x>2$”，$x=-3$ 是反例。否命题是“若 $x\le 2$，则 $x^2\le 4$”，同一个值也能反驳它。逆否命题是“若 $x^2\le 4$，则 $x\le 2$”，它为真，与原命题等价。取否定时若把 $x\le 2$ 写成 $x<2$，就漏掉了边界点。

练习否定全称条件命题

否定下述断言，并给出满足否定的具体取值：“对所有整数 $a,b$，若 $ab$ 是偶数，则 $a,b$ 都是偶数。”

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解

否定是：存在整数 $a,b$，使 $ab$ 是偶数，而 $a,b$ 中至少一个不是偶数。取 $a=2,b=3$ 即可，此时积为 $6$，但 $b$ 是奇数。“都是偶数”的否定是“至少一个不是偶数”，不是“都是奇数”。

练习两次证明是否完成了两个方向

某同学证明了 $P\to Q$ 和 $\neg Q\to\neg P$，于是声称 $P\leftrightarrow Q$。指出缺口，并说明补证哪个方向才足够。

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解

已经证明的两个形式彼此等价，都只建立了原命题方向。还缺少 $Q\to P$，也可以改证与它等价的 $\neg P\to\neg Q$。当 $P$ 假、$Q$ 真时，已经证明的两个形式都为真，双条件命题却为假。

练习选方法并完成证明

证明：对每个整数 $n$，若 $3n+2$ 是奇数，则 $n$ 是奇数。计算之前先写出逆否命题。

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解

逆否命题是：若 $n$ 是偶数，则 $3n+2$ 是偶数。设 $n=2k$，其中 $k\in\mathbb Z$，则

$$3n+2=6k+2=2(3k+1).$$

$3k+1$ 是整数，所以这个式子是偶数。逆否命题成立，原命题也成立。

接下来读什么

改写证明目标之前，先找出论域、条件、结论与量词，再确认自己取的是逆命题、逆否命题，还是整个断言的否定。下一篇直接证明将练习怎样展开定义，把已有条件组织成有依据的推导。

参考文献

1. [1] T. Leighton and R. Rubinfeld, “What Is a Proof?,” 2006. MIT 6.042/18.062J lecture notes, September 7, 2006. https://web.mit.edu/neboat/Public/6.042/proofs.pdf ↩