等式允许我们沿着相等关系变形，不等式则要求始终关注方向和符号。特别是乘以负数或除以负数时，不等号方向必须反转。

二次不等式

解二次不等式时，先找出根，再根据二次项系数和区间符号判断解集。判别式

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

决定实根的数量。原稿中关于不同判别式情形的图形说明已保留为正文，相关图像等待重新导出。

三个基本不等式

对实数 x,yx,y，三角不等式为

∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x+y|\le |x|+|y|

当 x,y>0x,y>0 时，算术平均数和几何平均数满足

xy≤x+y2\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}

更完整的均值链为

2xyx+y≤xy≤x+y2,\frac{2xy}{x+y}\le\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2},

等号在 x=yx=y 时成立。

对向量 a,b∈Rna,b\in\mathbb{R}^n，柯西施瓦茨不等式是

∣∑i=1naibi∣≤∑i=1nai2∑i=1nbi2\left|\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}

重排不等式则比较两个有序序列在同向排列和反向排列时的乘积和。

英文正文保留了多种证明路线，包括归纳法、几何解释和代数证明。图表会在资产迁移批次中逐一处理。