函数与映射

函数不只是一个公式：输入集合、输出集合和对应规则共同决定了关于它的陈述是什么意思。本篇把定义、单射、满射、复合和逆函数放在一起，因为它们围绕同一个映射逐步提出问题。阅读前先掌握朴素集合论，之后就能把序列理解为带指标的函数 [1][1] T. Button, Set Theory. Open Logic Project, 2026. Fall 2021 course text, revised July 2026. https://builds.openlogicproject.org/courses/set-theory/settheory-screen.pdf。

指明定义域、陪域和规则

定义函数

函数 $f:A\to B$ 为每个 $a\in A$ 恰好指定一个 $f(a)\in B$。$A$ 是定义域，$B$ 是陪域。像集或值域为 $f[A]=\{f(a):a\in A\}$，它是 $B$ 的子集。

对 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$、$f(n)=n^2$，陪域是全部整数，像集却是 $\{0,1,4,9,\ldots\}$。这里把函数视为带类型的映射：相等要求定义域、陪域以及各输入的输出都相同。因此，同一公式换一个声明的陪域，映射性质也可能改变。

从 $\varnothing$ 到任意集合 $B$ 恰有一个函数，即空函数；从非空集合 $A$ 到 $\varnothing$ 则没有函数。这些结论直接来自定义，不必在函数定义里排除空集合。

函数图像是有序对 $(a,f(a))$ 组成的集合。作为 $A\times B$ 的子集，它必须为每个输入恰好配一个输出。一般关系可能配多个或不配输出，所以不是每个关系都是函数。关系的系统理论放在关系与序中。

写出的规则必须真的定义函数

$x\mapsto1/x$ 不能定义全函数 $\mathbb R\to\mathbb R$，但在 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 上可以。声明相同定义域和陪域时，$1/x$ 与 $x^{-1}$ 给出的规则完全一样。后面用 $f^{-1}$ 表示逆函数，是上标的另一种用法。

规则还必须独立于输入的表示方式。例如，“把有理数 $a/b$ 映到分子 $a$”并不良定义，因为 $1/2=2/4$ 会让同一个有理数得到不同输出。若输入是等价类或具有多种表示的对象，就要检查所有允许表示是否给出相同结果。

集合的像与原像

对 $S\subseteq A$、$T\subseteq B$，定义

$$f[S]=\{f(x):x\in S\},$$ $$f^{-1}[T]=\{x\in A:f(x)\in T\}.$$

前者把子集向前映射，后者收集输出落在指定子集中的输入。每个函数都可以取集合的原像，不要求逆函数存在。

对平方函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，$\{-1,0,2\}$ 的像是 $\{0,1,4\}$，$\{1,4\}$ 的原像是 $\{-2,-1,1,2\}$。不同输入可以产生相同像元素，而集合中只列一次。

命题像保持并集

对 $C,D\subseteq A$，

$$f[C\cup D]=f[C]\cup f[D].$$

证明

若 $y\in f[C\cup D]$，取 $x\in C\cup D$ 使 $f(x)=y$。输入至少属于 $C,D$ 之一，所以 $y\in f[C]\cup f[D]$。反过来，若 $y$ 属于任一个像集，就有一个见证输入属于 $C\cup D$，因此也属于其像。两个包含关系得到等式。

所以这里不存在“不相等”的反例。交集的情况不同：

$$f[C\cap D]\subseteq f[C]\cap f[D].$$

对平方函数，取 $C=\{-1\}$、$D=\{1\}$，左边为空集，右边为 $\{1\}$。两个像集中的成员资格可以由不同输入分别见证。

原像同时保持并集、交集，以及相对于声明集合的补集：

$$f^{-1}[B\setminus T]=A\setminus f^{-1}[T].$$

例如，左边的成员条件是 $x\in A$ 且 $f(x)\notin T$，正好也是右边的条件。原像检查始终围绕同一个输入 $x$，因此不需要单射假设。

单射、满射与双射

性质	含义	怎样证明
单射	输出相同迫使输入相同	假设 $f(x)=f(y)$，推出 $x=y$
到 $B$ 的满射	陪域每个元素都能达到	任取 $b\in B$，构造 $a\in A$ 使 $f(a)=b$
双射	同时单射与满射	分别完成两项要求

反驳单射，要找不同输入产生相同输出；反驳满射，要找一个没有原像的陪域元素。每个输入都有输出，本来就是函数的要求，不是满射的定义。

例陪域改变满射性

$x\mapsto x^2$ 从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R$ 时既非单射也非满射：$-1,1$ 输出相同，且达不到 $-1$。从 $\mathbb R$ 到 $[0,\infty)$ 时为满射，仍非单射。再把定义域也限制为 $[0,\infty)$，才成为双射。

证明给出明确见证的双射证明

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，$f(x)=3x-2$。若 $f(x)=f(y)$，则 $3x-2=3y-2$，所以 $x=y$，单射成立。任取 $b\in\mathbb R$，选择 $a=(b+2)/3$，它是实数且满足 $f(a)=b$，因此满射成立。故 $f$ 为双射。

有限且大小相同的定义域、陪域之间，单射与满射等价，因为不重复地选取输出就会用尽全部可用输出。这个结论不能直接搬到无限集合。$n\mapsto n+1$ 从 $\mathbb N$ 到自身是单射，却漏掉了 $0$。

用映射比较集合的势

朴素集合论中的“一一配对”，现在可以准确表述为双射 $f:A\to B$，它证明 $|A|=|B|$。若存在单射 $A\to B$，就能把 $A$ 的不同元素放到 $B$ 的不同位置上；这就是一般集合中 $|A|\le|B|$ 的含义。

若 $B$ 可数，且存在单射 $A\to B$，则 $A$ 也可数。$B$ 有限时，可用位置只有有限个；$B$ 可数无限时，沿着它的一个枚举依次检查，只保留单射实际用到的位置。这样每个 $A$ 中的元素至多出现一次，并且不会遗漏。

另一个结论与数列直接相关：非空集合 $A$ 可数，当且仅当存在满射 $\mathbb N\to A$。有限的非空列表可以通过重复其中一个元素延长为无限列表；反过来，对一个满射列表，只保留各值首次出现的位置，就得到不重不漏的有限或可数无限列表。空集也可数，但不存在从 $\mathbb N$ 到空集的函数，所以这里必须写“非空”。

这些结论首先讨论映射是否存在。“保留首次出现”说明数学上如何安排列表；若数据或相等性判断不能计算，并不保证这个过程能写成可执行的枚举算法。

复合及其能保证的性质

若 $f:A\to B$、$g:B\to C$，则复合 $g\circ f:A\to C$ 定义为 $(g\circ f)(a)=g(f(a))$，右边的函数先作用。复合满足结合律，但通常不满足交换律。恒等映射满足 $\operatorname{id}_B\circ f=f=f\circ\operatorname{id}_A$。

例如，在实数上令 $f(x)=x+1$、$g(x)=2x$，则 $(g\circ f)(x)=2x+2$，$(f\circ g)(x)=2x+1$。逐点相乘得到的却是 $(fg)(x)=2x(x+1)$。即使两个函数共用数值定义域，这些运算也不是一回事。

证明单射或满射的复合

若 $f,g$ 都是单射，且 $g(f(x))=g(f(y))$，先由 $g$ 的单射性得到 $f(x)=f(y)$，再由 $f$ 的单射性得到 $x=y$。

若 $f,g$ 都是满射，任取 $c\in C$，先选 $b\in B$ 使 $g(b)=c$，再选 $a\in A$ 使 $f(a)=b$，便有 $(g\circ f)(a)=c$。因此双射的复合仍是双射。

反向能得到的结论较弱：$g\circ f$ 单射可以推出 $f$ 单射，$g\circ f$ 满射可以推出 $g$ 满射。但复合为双射，不意味着两个组成函数都为双射，后面的练习会给出反例。

逆函数与原像运算

$f:A\to B$ 的双侧逆，是满足下式的函数 $h:B\to A$：

$$h\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ h=\operatorname{id}_B.$$

双侧逆存在，当且仅当 $f$ 为双射。若 $f$ 为双射，每个 $b\in B$ 恰有一个原像，把它指定为输出就定义了 $h$。反过来，第一个恒等式保证 $f$ 单射，第二个保证 $f$ 满射。逆函数唯一，记作 $f^{-1}$。

对 $f(x)=3x-2$，逆函数为 $f^{-1}(b)=(b+2)/3$，不是 $1/(3b-2)$。单射 $f:A\to B$ 总可以在把陪域缩为 $f[A]$ 后求逆；但若 $B$ 中有未达到的元素，就不能因此说它在整个 $B$ 上可逆。

即使逆函数不存在，$f^{-1}[T]$ 仍然表示集合的原像。$f$ 为双射时，它与通过逆函数得到的 $T$ 的像一致。写清括号和定义域，可以避免混淆两个含义。

限制、偏函数与全函数

对 $D\subseteq A$，限制 $f|_D:D\to B$ 在较小定义域上保留原输出，它对自己声明的定义域 $D$ 是全函数。偏函数 $p:A\rightharpoonup B$ 则保留 $A$ 作为环境输入集合，实际定义域为 $D\subseteq A$，其中某些环境输入可以没有输出。

倒数规则在环境集合 $\mathbb R$ 上是偏函数，但作为 $\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R$ 的映射就是全函数。若要编码无输出状态，可以加入新符号 $\bot\notin B$，定义全函数 $p^*:A\to B\cup\{\bot\}$，在 $D$ 上与 $p$ 一致，在其他位置返回 $\bot$。这明确改变了陪域，并不是证明原规则本来就处处有输出。

练习

练习检查输入的类型

某映射的定义域是 $\{0,1\}\times\mathcal P(\mathbb Z)$，陪域是 $\mathbb N$。说明为什么 $(1,\{-3,6\})$ 是合法输入、$9$ 是合法输出值，而 $(8,-7)$ 不是合法输入。

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解

第一分量必须属于 $\{0,1\}$，第二分量必须是整数集的子集。第一个有序对同时满足要求，第二个的第一分量不合法，第二分量也只是整数而非整数子集。知道 $9$ 属于陪域，并不能确定哪个输入会映到它，甚至不能保证它被达到。

练习修正定义域或规则

$x\mapsto\sqrt x$ 与关系 $y^2=x$ 是否定义了函数 $\mathbb R\to\mathbb R$？通过适当限制给出一个准确的函数。

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解

实平方根规则在负输入上无定义；关系 $y^2=x$ 对正输入还允许两个输出。要求 $x\ge0$ 并选择非负根，得到函数 $[0,\infty)\to[0,\infty)$、$x\mapsto\sqrt x$。根的存在性和唯一性来自实数的性质，不是写下关系就自动得到了。

练习从整数对到整数的满射

对 $f:\mathbb Z^2\to\mathbb Z$、$f(m,n)=2m-n$，判断单射性与满射性。

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解

它是满射：任取整数 $z$，选 $(m,n)=(0,-z)$ 即可。它不是单射，因为 $(0,0)$ 和 $(1,2)$ 都映到 $0$。各个见证都属于声明的乘积定义域。

练习复合双射不迫使每个因子双射

取 $A=C=\{0\}$、$B=\{0,1\}$。令 $f:A\to B$ 把 $0$ 映到 $0$，$g:B\to C$ 把两个输入都映到 $0$。分别检查 $g\circ f$、$f$ 与 $g$。

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解

复合是单元素集合上的恒等映射，因此为双射。但 $f$ 漏掉 $1$，不是满射；$g$ 合并两个不同输入，不是单射。这反驳了“复合双射就意味着两个因子都是双射”的说法。

练习像何时保持交集

证明单射 $f$ 满足 $f[C\cap D]=f[C]\cap f[D]$，并指出哪一步使用了单射性。

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解

正向包含对任意函数成立。反向任取 $y=f(c)=f(d)$，其中 $c\in C$、$d\in D$，单射性给出 $c=d$，所以共同输入属于 $C\cap D$，见证了左边的成员资格。正文中的平方函数反例说明，没有单射性时等号可能失败。

练习计算逆函数与原像

对 $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$、$f(x)=x^2$，求逆函数和 $f^{-1}[T]$，其中 $T=[1,4]$。把定义域改成全部实数后，再计算这个原像。

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解

在非负定义域上，逆函数为 $y\mapsto\sqrt y$，区间 $[1,4]$ 的原像为 $[1,2]$。定义域改为全部实数后，原像变成 $[-2,-1]\cup[1,2]$，此时函数虽然不再单射、没有双侧逆，仍然可以取原像。这就是原像运算与逆函数的区别。

接下来阅读数列与级数。初等实函数的详细性质见微积分系列，建立这里的映射概念不需要先展开完整函数目录。

参考文献

1. [1] T. Button, Set Theory. Open Logic Project, 2026. Fall 2021 course text, revised July 2026. https://builds.openlogicproject.org/courses/set-theory/settheory-screen.pdf ↩