直接证明

直接证明从假设出发，通过定义、代数运算和已经建立的结果一步步推出结论。基本结构是：

1. 明确写出假设。
2. 使用定义和有效的推理规则。
3. 得到目标结论。

例奇数的平方仍然是奇数

设 $n$ 是奇数，则存在整数 $k$ 使得 $n=2k+1$。因此

$$n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$$

因为 $2k^2+2k$ 是整数，所以 $n^2$ 具有 $2m+1$ 的形式，即 $n^2$ 是奇数。

这个证明使用了奇数的定义，而不是只观察几个数的规律。

练习两个偶数之和

证明两个偶数之和仍然是偶数。

解

设 $a=2k$、$b=2m$，其中 $k,m\in\mathbb{Z}$。那么

$$a+b=2k+2m=2(k+m)$$

而 $k+m$ 是整数，所以 $a+b$ 是偶数。

练习一个整除性例子

证明对每个正整数 $n$，$n^3+2n$ 都能被 $3$ 整除。

解

把表达式改写为

$$n^3+2n=n(n^2-1)+3n=n(n-1)(n+1)+3n$$

三个连续整数中必有一个能被 $3$ 整除。因此右侧两项都能被 $3$ 整除，原表达式也能被 $3$ 整除。

直接证明最重要的工作，通常是找到能暴露相关定义或整除性的信息表示法。