集合、函数、序列与求和

这一章把几个经常一起出现的对象串起来：集合描述对象的范围，关系描述对象之间的联系，函数则为每个输入指定唯一输出。序列可以看成定义域为自然数的函数，求和记号则把重复的加法压缩成一个表达式。

集合与运算

集合可以用列举法或性质描述法表示。常见运算包括并集、交集、差集和补集。德摩根律把补集与并交运算联系起来：

$$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c$$

这些恒等式应当在明确全集之后使用。补集不是脱离背景的操作。

函数

函数 $f:A\to B$ 为每个 $a\in A$ 指定唯一的 $f(a)\in B$。需要区分三种性质：

• 单射：不同输入不会得到同一个输出。
• 满射：陪域中的每个元素都被某个输入取到。
• 双射：同时是单射和满射，因此存在逆函数。

函数的定义域、陪域和值域不能混为一谈。部分函数允许某些输入没有输出，而全函数要求定义域中的每个元素都有输出。

序列与求和

序列通常写作 $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$。有限和可以写成

$$\sum_{i=m}^{n}a_i$$

操作求和时，先确认下标范围和通项，再使用线性、换序或拆分等规则。把下标范围写清楚，比单纯追求记号简短更重要。

英文正文保留了集合恒等式、函数类型和序列练习。原稿中的图表已经标为待转换资产，后续会逐个导出为 SVG 或重新绘制。