关系与序

关系是描述对象之间联系的统一语言。对集合 $A$ 和 $B$，从 $A$ 到 $B$ 的二元关系是笛卡尔积 $A\times B$ 的子集。

关系的性质与表示

自反性、对称性和传递性描述关系的基本结构。有限关系可以用矩阵或有向图表示。关系的自反、对称和传递闭包，分别是加入最少有序对后得到相应性质的关系。

等价关系与序关系

等价关系同时满足自反、对称和传递性。它把集合划分成互不相交的等价类。偏序关系满足自反、反对称和传递性，元素之间不一定都能比较。全序则要求任意两个元素都可比较。

偏序可以用 Hasse 图可视化。格是在适当条件下每一对元素都有最小上界和最大下界的偏序结构。拓扑排序则把偏序关系排列成一个与依赖关系一致的线性顺序，是许多调度和构建系统的基础。

原稿还介绍了 NBG 集合论和类的观点。这里需要谨慎区分朴素集合论中的直觉说法与形式公理系统，避免把 Russell 悖论的启示简化成“所有集合都不能包含自己”这样的未经限定的结论。

英文正文中的关系矩阵、有向图、Hasse 图和拓扑排序图会在资产批次中重新制作，当前不直接引用 LaTeX 生成的图片。