向量、矩阵、线性映射，以及计算中反复出现的代数结构。
这组笔记从线性组合开始，依次讨论矩阵运算、方程组、向量空间、线性映射，以及图的矩阵表示。随后加入内积与投影，把代数结构变成可测量的几何；行列式、特征值、动力系统、谱定理与 SVD 再解释变换的体积、模式和低秩结构。先通过具体计算看清问题，再用定义与证明解释这些方法为什么成立。
阅读时始终区分三个问题：目标能否达到，表示是否唯一，以及怎样实际求出表示。位移、插值、交通流和网页跳转会在相应概念出现时提供例子；每章的练习用于检查是否能把同样的方法用于新的输入。
需要实数运算、基本方程与集合函数的基础。向量与矩阵默认使用实数；特征值与 Hermitian 矩阵需要复数时，会链接到已有的复数章节。三角函数、不等式、数列、微分方程和概率概念也在首次使用处给出站内引用。
从位移与响应理解向量相加、缩放、线性组合和可达范围，再走向矩阵。
从行与列理解矩阵，用插值建立模型，从两步处理推导矩阵乘法。
用交通守恒理解消元、自由变量与独立测量，再用插值系统推导 LU 分解。
从函数与坐标的共同运算出发，理解子空间、唯一表示与解空间的维数。
从保持线性组合出发，推导有限维矩阵表示、换基以及核与解集的关系。
从交通与网页模型区分邻接矩阵、关联矩阵和转移矩阵，理解游走、守恒与稳态。
从内积定义长度与夹角，证明柯西–施瓦茨和三角不等式，再构造正交基。
把最近点问题化为正交残差，推导正规方程、投影矩阵与 QR 求解。
把行列式理解为线性变换的有向体积缩放，并推导行变换、乘法与可逆性规律。
寻找变换下方向不变的向量，理解特征空间、重数、复特征值与对角化条件。
用谱分解统一离散递推、Markov 状态更新与连续线性微分方程。
用正交特征向量理解对称矩阵、二次型、正定性与极值方向。
把任意矩形矩阵分解为正交方向与非负缩放，并连接最小二乘、伪逆和低秩近似。
从关联矩阵构造图 Laplacian，用特征值理解连通性、平滑性、扩散与谱聚类。