从代数基本定理看求根与最优化

最近在复习计算数学，看到求根这一章。讨论数值方法之前，得先确认根一定存在，于是我又把代数基本定理的证明过了一遍。这一次我忽然意识到一件事：这个定理问的是“方程有没有解”，证明却一句方程都没解。它做的事情是在复平面上找 $|p(z)|$ 的最低点，再说明最低点的高度只能是 0。

换句话说，这是一个最优化论证。

这篇文章想顺着这个观察往下走：求根和最优化可以互相改写，但改写之后，问题的“地形”会变。代数基本定理之所以成立，归根到底是因为复平面上 $|p|$ 的地形好得出奇，除了零点以外没有别的坑。

读这篇文章需要的东西不多：复数的加减乘除、一元函数的导数，再加一点多元微积分里的偏导数。用到复分析的地方，我会先讲直观，再给结论。文中有两个交互实验，可以拖动和点击，建议边读边玩。

先搭好舞台：复平面和“地形”

复数 $z=x+iy$ 可以看成平面上的点 $\left(x,\ y\right)$，横轴叫实轴，纵轴叫虚轴。它的模

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

就是这个点到原点的距离。后面最常用的是复数乘法的几何意义：两个复数相乘，模相乘，辐角（与正实轴的夹角）相加。所以“乘以一个复数”等于“先伸缩，再旋转”。特别地，乘以 $i$ 就是逆时针转 90 度，这也是 $i^2=-1$ 的几何含义：转两次 90 度，正好指向反方向。

一个 $n$ 次复系数多项式写作

$$p(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0,\qquad a_n\ne0.$$

如果 $p(z_0)=0$，就说 $z_0$ 是 $p$ 的根。

定理代数基本定理

每个次数 $n\ge1$ 的复系数多项式至少有一个复数根。

有了一个根 $z_1$，就能把 $p$ 写成 $\left(z-z_1\right)q(z)$，再对 $q$ 重复，所以“至少一个根”推出“恰好 $n$ 个根（按重数计）”。真正要证明的只有“至少一个”。

现在换个角度看 $p$。对平面上每个点 $z$，算出一个非负实数 $|p(z)|$，把它当成这一点的“高度”。整个复平面就变成了一张地形图：

• 高度永远不小于 0；
• 高度等于 0 的地方，恰好就是根。

于是“$p$ 有没有根”变成了“这张地形图上有没有海拔为 0 的点”。下面这张图就是本文主角 $p(z)=z^3-2z+2$ 的地形，可以拖动旋转。

这个交互图需要启用 JavaScript。

三个蓝点是三个根，地形在那里降到 0，像三个漏斗。橙色曲线是地形沿实轴的截线，后面会反复用到。

几个最优化的词

在继续之前，先把要用的最优化词汇说清楚。设 $f$ 是平面上的实值函数。

定义全局最小与局部最小

若对所有 $z$ 都有 $f(z_0)\le f(z)$，称 $z_0$ 是 $f$ 的全局最小点。若只在 $z_0$ 的某个小邻域里有 $f(z_0)\le f(z)$，称 $z_0$ 是局部最小点。

局部最小像山谷里的一个小坑：站在坑底往四周看，哪儿都比脚下高，但翻过山可能还有更深的谷。

梯度。 对两个变量的函数 $f\left(x,\ y\right)$，梯度是由两个偏导数组成的向量

$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

它指向 $f$ 增长最快的方向，长度是那个方向上的增长率。反过来，$-\nabla f$ 就是下坡最陡的方向。梯度下降就是反复沿这个方向走一小步：

$$z_{k+1}=z_k-\eta\,\nabla f(z_k),$$

其中 $\eta>0$ 是步长。

驻点与鞍点。 梯度为零的点叫驻点，在那里地面是“平”的。光滑函数的局部最小点一定是驻点，因为只要梯度不为零，沿 $-\nabla f$ 走一小步就能更低。但驻点不一定是最小点。最典型的反例是

$$f\left(x,\ y\right)=x^2-y^2.$$

原点处梯度为零。沿 $x$ 方向看，它是一个坑底；沿 $y$ 方向看，它是一个坡顶。这样的点叫鞍点，形状像马鞍，也像两座山之间的山口。

最小值一定存在吗？ 不一定。$f(x)=x$ 在开区间 $\left(0,\ 1\right)$ 上没有最小值，它无限接近 0，却碰不到；$e^{-x}$ 在 $[0,\ \infty)$ 上也没有最小值，越往右越低，永远到不了底。前一个例子漏掉了边界，后一个例子跑到了无穷远。把这两种情况排除，结论就成立了：

定理最值定理（Weierstrass）

在有界闭集上连续的函数，一定能取得最小值和最大值。

“闭”保证边界点也算在内，“有界”保证不会一路跑到无穷远。在平面上，闭圆盘 $\{z:|z|\le R\}$ 就是有界闭集。

代数基本定理的证明，其实是一个最小化问题

有了这些词，证明可以讲成三步。目标函数取 $f(z)=|p(z)|$。

第一步：远处很高。 当 $|z|$ 很大时，首项 $a_nz^n$ 的模远大于其余各项之和，所以 $|p(z)|\to\infty$。优化里管这种性质叫 coercive：越往外走越高，最低点不可能藏在无穷远处。

第二步：最低点存在。 取一个足够大的圆盘，使得圆盘外的高度都超过 $|p(0)|$。圆盘是有界闭集，$|p|$ 连续，由最值定理，它在圆盘里有最小点 $z_0$。圆盘外的点都比 $|p(0)|$ 高，自然也比 $|p(z_0)|$ 高，所以 $z_0$ 是整个复平面上的全局最小点。

第三步：最低点的高度是 0。 这是整个证明的核心，靠的是下面这个引理。

引理达朗贝尔引理

若 $p$ 不是常数且 $p(z_0)\ne0$，则在 $z_0$ 的任意小邻域里，都存在一点 $z$ 使 $|p(z)|<|p(z_0)|$。

换成最优化的话说：不是根的点，一定不是局部最小点。

为什么？把 $p$ 在 $z_0$ 附近展开成 $w=z-z_0$ 的多项式。设 $k$ 是第一个系数不为零的正次项：

$$p(z_0+w)=p(z_0)+c\,w^k+(\text{更高次项}),\qquad c\ne0.$$

$w$ 很小时，更高次项比 $c\,w^k$ 小得多，可以先忽略。要让 $|p|$ 变小，就要让 $c\,w^k$ 这一项把 $p(z_0)$ 往原点方向拉，也就是让 $c\,w^k$ 指向 $-p(z_0)$ 的方向。

这一步的关键是复数乘法的几何意义。写 $w=re^{i\theta}$，那么 $w^k$ 的辐角是 $k\theta$，$c\,w^k$ 的辐角是 $\arg c+k\theta$。想让它等于 $-p(z_0)$ 的辐角，只要解出 $\theta$ 就行，而这总是解得出来的：转角除以 $k$ 而已。确定了方向，再取足够小的 $r$，就得到

$$|p(z_0+w)|\approx|p(z_0)|-|c|\,r^k<|p(z_0)|.$$

看一个最简单的例子：$p(z)=z^2+1$，$z_0=0$。这里 $p(0)=1$，$k=2$，$c=1$。要让 $w^2$ 指向 $-1$，取 $w=ir$ 即可，因为 $(ir)^2=-r^2$：

$$p(ir)=1-r^2<1.$$

如果只允许实数 $w$，这一步就做不到：实数的平方永远不是负数，$p(w)=1+w^2\ge1$。复数多出来的那个维度，正好提供了下坡的方向。这一点后面还会反复出现。

三步合起来：最低点存在，而不是根的点都不可能是最低点，所以最低点就是根。严格的估计（把更高次项控制住）我在复数那篇笔记里写过，这里不再重复。

这条路线有一段曲折的历史。达朗贝尔在 1746 年给出了这个引理，但他默认了最小值存在。高斯 1799 年的博士论文专门批评过包括达朗贝尔在内的早期证明。阿尔冈在 1806 年和 1814 年的工作里用“取 $|p|$ 的最小值”把论证组织成今天的样子，柯西 1821 年的《分析教程》也沿用了它。可第二步依赖的最值定理，要等到十九世纪后半叶魏尔斯特拉斯的工作才算真正严格[1][1] H. D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, and R. Remmert, Numbers. Springer, 1991. Chapter 4, R. Remmert, The Fundamental Theorem of Algebra., [2][2] B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra. Springer, 1997.。也就是说，这个证明里最“分析”的一块，恰好是最优化里最基础的那条存在性定理。

两个方向的改写

一旦这样看，就会发现求根和最优化之间本来就有两座桥。

从求根到最优化。 要解方程组 $F(x)=0$，可以去最小化

$$\phi(x)=\tfrac{1}{2}\|F(x)\|^2.$$

这里 $\|F\|$ 是向量的长度，$\phi\ge0$，而且 $\phi(x)=0$ 当且仅当 $F(x)=0$。所以只要最小值等于 0，最小点就是根。系数 $\tfrac{1}{2}$ 只是为了求导后好看。非线性最小二乘、Gauss–Newton 法都从这里出发。

从最优化到求根。 要最小化光滑函数 $f$，前面说过，局部最小点一定满足

$$\nabla f(x)=0.$$

这是一个方程组。费马在十七世纪三十年代就用类似的想法找极值。用 Newton 法做优化，其实就是对梯度 $\nabla f$ 做 Newton 求根。

两座桥都通，但过桥之后，风景不一样。下面用一个具体的多项式来看。

一个例子：实数轴上的假坑

还是那个

$$p(x)=x^3-2x+2.$$

它是数值分析课上的老朋友：Newton 法从 0 出发，会在 0 和 1 之间来回跳，永远不收敛。它有一个实根，约为 $-1.7693$，另外两个是共轭复根 $0.8846\pm0.5897i$。

先只在实数轴上，用“最小化 $p(x)^2$”来求根。$p'(x)=3x^2-2$ 在 $x=\pm\sqrt{2/3}\approx\pm0.8165$ 处为零。记 $x_0=\sqrt{2/3}$，在这一点 $p$ 取得局部最小值，约为 0.911，不是 0。

这就是一个假坑：它是 $p^2$ 的局部最小点，却不是根。在实数轴上做梯度下降，起点只要在 $-0.8165$ 右边，就会滑进这个坑出不来。只在实数里做最优化改写，丢掉了求根问题的本意。

同样的事情在 $x^2+1$ 上更直白：它在实数轴上的最低点是 $x=0$，高度为 1，而它根本没有实根。

上半张图是实轴上的 $|p(x)|$：左边是真正的根，右边是假坑。下半张图过同一个点 $x_0$，比较沿实方向和沿虚方向走时 $|p|$ 的变化，下一节就来解释它。

到了复平面，假坑变成了鞍点

现在把 $x_0$ 放进复平面里看。在这一点 $p'(x_0)=0$，所以展开式里一次项消失，第一个非零项是二次项：

$$p(x_0+w)\approx 0.911+2.449\,w^2.$$

这正是达朗贝尔引理里 $k=2$ 的情形。沿实轴走，$w$ 是实数，$w^2>0$，$|p|$ 变大，所以在实轴上看它是坑底。可要让 $2.449\,w^2$ 指向负实轴，只需取 $w$ 为纯虚数。$w=is$ 时，

$$p(x_0+is)\approx 0.911-2.449\,s^2,$$

$|p|$ 变小了。

在实数轴上看是坑底，在复平面上看，它只是一个山口：沿实轴方向往上，沿虚轴方向往下，正是前面 $x^2-y^2$ 那种鞍点。回到上面的三维地形图，点“实轴截面”按钮：曲面沿实轴被切开，正面那条边就是实轴上的曲线，能看到 $x_0$ 处的坑。再慢慢拖动旋转，就会发现坑的背后，曲面是往下走的。

$x^2+1$ 也一样。在 $z=0$ 处，要让 $w^2$ 指向 $-1$，取 $w=\pm i$。顺着虚轴往下走，正好走到它的两个根 $\pm i$。

这让我对代数基本定理“为什么一定要在复数里讲”有了更具体的感觉。实数上的反例并不是偶然缺了几个根，而是地形里有坑；复数做的事情，是把每个坑都拆成一个鞍点。

为什么复平面上一个假坑都没有

上一节只看了一个点。要说明复平面上处处如此，需要一个更整体的工具：调和函数。

定义调和函数

二元实函数 $u\left(x,\ y\right)$ 若满足

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,$$

就称 $u$ 是调和函数。

这个条件的直观含义很简单：$x$ 方向的弯曲和 $y$ 方向的弯曲正好相反。如果沿 $x$ 方向往上弯（二阶导数为正），沿 $y$ 方向就一定往下弯。而一个严格的局部最小点，需要在每个方向上都往上弯，这和调和条件矛盾。

另一个等价的说法叫平均值性质：调和函数在一点的值，等于它在以这点为圆心的任意小圆周上的平均值。如果某点比周围一圈都低，平均值就不可能等于它，所以调和函数（除非是常数）没有局部最小点，也没有局部最大点。

和本文有关的事实是：在 $p(z)\ne0$ 的地方，$\log|p(z)|$ 是调和函数。原因是它局部上等于解析函数 $\log p(z)$ 的实部，而解析函数的实部都满足上面的方程（这由 Cauchy–Riemann 方程直接推出）。$\log$ 是递增函数，不改变哪里高、哪里低，所以：

• $|p|$ 在零点以外没有局部最小点。这就是复分析里的最小模原理；
• $|p|$ 的那些不是根的驻点，也就是 $p'(z)=0$ 而 $p(z)\ne0$ 的点，都只能是鞍点。

拿 $x_0$ 验证一下：沿实轴，$\log|p|$ 的二阶导数是 $p''(x_0)/p(x_0)\approx5.38>0$，往上弯；调和条件立刻告诉我们，沿虚轴的二阶导数是 $-5.38$，往下弯。这和上一节的展开完全一致。

从这个角度看，达朗贝尔引理是一个更一般现象的局部版本：非常数的解析函数把每个小邻域映成一个包含 $p(z_0)$ 的开集（开映射定理），这个开集里自然有离原点更近的点。

把这件事落到算法上，可以做个实验。$|p|^2$ 的梯度写成复数形式是

$$2\,\overline{p'(z)}\,p(z),$$

它只在根和 $p'$ 的零点处为零。我在 $[-2,\ 2]\times[-2,\ 2]$ 里随机撒了 2000 个起点，对 $|p(z)|^2$ 做步长 $\eta=0.002$ 的梯度下降。跑完之后，2000 个起点全部收敛到了三个根之一，$|p|$ 的最大残差在 $10^{-14}$ 量级。实数轴上那个让大半起点卡住的坑，在复平面上一个都没留下。

下面这个实验可以自己试：点击平面上任意一点作为起点，看梯度下降怎么走。细线是 $|p|$ 的等高线，越靠近根，背景的蓝色越浓；那条 8 字形的虚线是过鞍点 $x_0$ 的等高线。

这个交互图需要启用 JavaScript。

推荐试两个预设起点：“1.7” 和 “1.7+0.04i”。只有一种情况会失败：起点恰好落在实轴上。$p$ 的系数都是实数，实轴上的梯度也是实数，迭代永远离不开实轴，于是会停在鞍点 $x_0$。往上或往下偏一点点，轨迹就绕过鞍点，落进复根。随机撒点几乎不可能恰好落在实轴上，这也是 2000 个起点全部成功的原因。

静态图：五条梯度下降轨迹

数值方法里的同一个想法

这层关系在数值方法里一直在用，只是平时不太点破。先简单回顾一下 Newton 法。

Newton 法。 在当前点 $z_k$ 用切线近似 $p$：$p(z)\approx p(z_k)+p'(z_k)(z-z_k)$。令右边等于零，解出下一个点

$$z_{k+1}=z_k-\frac{p(z_k)}{p'(z_k)}.$$

对方程组 $F(x)=0$，导数换成 Jacobian 矩阵 $J$，也就是由所有偏导数 $\partial F_i/\partial x_j$ 排成的矩阵，Newton 步变成 $x_{k+1}=x_k-J^{-1}F(x_k)$。Newton 法离根近时收敛极快，离根远时却可能乱跳。

还是 $p(z)=z^3-2z+2$。纯 Newton 法从 0 出发：

$$0\ \to\ 1\ \to\ 0\ \to\ 1\ \to\ \cdots$$

看看 $|p|$ 的变化：$|p(0)|=2$，$|p(1)|=1$，再回到 2。从 1 跳回 0 的那一步让 $|p|$ 翻了一倍。

价值函数与回溯。 一个自然的补救是给 Newton 法配一把尺子，用它判断“这一步有没有让情况变好”。这把尺子就是前面的 $\phi=\tfrac{1}{2}|p|^2$，在优化里叫价值函数（merit function）。做法是：先试整个 Newton 步；如果 $\phi$ 没有下降足够多，就把步长减半再试，直到满意为止。这种做法叫回溯线搜索，配上它的 Newton 法叫阻尼 Newton 法。

它确实打破了循环：从 0 跳到 1，$|p|$ 从 2 降到 1，这一步被接受；从 1 想跳回 0 时，$|p|$ 会翻倍，回溯把步长缩成四分之一，落到 0.75。

但我实际跑下去，出现了新的问题。迭代一步步挤向 0.8165，正是前面那个假坑 $x_0$。那里 $p'=0$，Newton 步 $p/p'$ 的长度趋于无穷，回溯只好把步长缩得越来越小，算法几乎原地不动。它在坑边停了十来步，最后是浮点舍入误差让某一步偶然迈了出去，才落到实根 $-1.7693$。这算不上算法的功劳：只要全程用实数算，迭代就离不开实轴，而在实轴上这个坑是真的。

把起点挪到 $0.01i$，情况完全不同。迭代同样先靠近 $x_0$，随后沿虚方向滑下山口，15 步收敛到复根 $0.8846+0.5897i$。价值函数打破了循环，复平面多出来的那个方向化解了假坑。

在上面的实验里把方法换成“阻尼 Newton”或“纯 Newton”，用预设起点 “0” 和 “0.01i” 就能看到这两种结局。状态栏里的“步长比例”是回溯后实际采用的那部分 Newton 步。

静态图：Newton 法的三条路径

为什么用价值函数来约束 Newton 法是合理的？背后有一个很干净的事实。Newton 方向是 $d=-J^{-1}F$；价值函数的梯度是 $\nabla\phi=J^{\mathsf T}F$。沿 Newton 方向的方向导数是两者的内积：

$$\nabla\phi^{\mathsf T}d=-F^{\mathsf T}JJ^{-1}F=-\|F\|^2<0.$$

只要还没到根，而且 $J$ 可逆，Newton 方向就一定是 $\phi$ 的下坡方向，只是一整步可能迈得太大，回溯负责把它缩短。反过来，这类方法真正会出问题的地方，正是 $J$ 奇异的点：在那里 Newton 方向失去意义，迭代可能停在一个不是根的点上[3][3] J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical Optimization, 2nd ed. Springer, 2006.。上面的 $x_0$ 就是这样的点。

求根算法借最优化的尺子来量“有没有变好”，这和达朗贝尔引理的思路一样：不是根，就应该有路往下走。只是高维的方程组没有复平面那么幸运。$\|F\|^2$ 可能有真正的假坑，也就是 $J^{\mathsf T}F=0$ 而 $F\ne0$ 的局部最小点。Gauss–Newton 法和 Levenberg–Marquardt 法卡住的时候，往往就是掉进了这种坑。实数轴上的 $x^3-2x+2$，是这件事最小的模型。

反过来不成立：不是每个求根问题都是最优化

两座桥并不对称。

从最优化到求根，得到的方程组总是某个函数的梯度 $\nabla f=0$。但反过来，一个向量场 $F$ 要能写成梯度 $\nabla f$，必须满足一个条件。以平面为例，若 $F=\left(F_1,\ F_2\right)=\nabla f$，则

$$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x},$$

因为光滑函数的混合偏导数与求导顺序无关。换成矩阵的话说，$F$ 的 Jacobian 必须对称。在没有“洞”的区域（单连通区域）上，这个条件也是充分的。大多数方程组都不满足这一条，所以求根问题比“找驻点”宽得多。

最简单的反例来自博弈。设想两个玩家：一个控制 $x$，想让 $xy$ 尽量小；另一个控制 $y$，想让 $xy$ 尽量大。写成

$$\min_x\max_y\ xy.$$

均衡点是原点：谁单方面改变都占不到便宜。它也是方程组 $F\left(x,\ y\right)=\left(y,\ -x\right)=0$ 的根，其中第一个分量 $y$ 是 $xy$ 对 $x$ 的偏导数，第二个分量是 $xy$ 对 $y$ 的偏导数再取负号，因为 $y$ 玩家在往上走。这个 $F$ 的 Jacobian 是反对称的，不是任何函数的梯度。

最直接的算法是让两个玩家同时各走一步：$x$ 沿梯度下降，$y$ 沿梯度上升，叫梯度下降-上升：

$$x_{k+1}=x_k-\eta\,y_k,\qquad y_{k+1}=y_k+\eta\,x_k.$$

这其实是在把点 $\left(x_k,\ y_k\right)$ 旋转一个小角度，同时放大 $\sqrt{1+\eta^2}$ 倍。取 $\eta=0.1$ 从 $\left(1,\ 0\right)$ 出发，100 步后到原点的距离变成约 1.64，一圈一圈往外绕。这里没有“地形”可言，也就没有“往下走”。生成对抗网络（GAN）的训练本质上也是这样一个最小最大问题，它那些绕圈和震荡，有一部分原因就在这里。

所以更准确的说法是：最优化可以看成求根的一个特例（梯度场的求根），而求根问题又总能借 $\|F\|^2$ 改写成最优化，只是改写之后会多出原问题里没有的坑。

回到学习

我对这件事这么在意，一部分原因是它和现在的机器学习理论很像。

最优化里最省心的是凸函数：碗形的函数，局部最小就是全局最小，不会有假坑。可深度学习里的目标函数几乎都不是凸的，理论上随时可能卡在坏的局部最小点，实践中梯度下降却往往表现得很好。过去十年有一条研究线，专门找那些“非凸，但地形良性”的问题：所有局部最小都是全局最小，其余的驻点都是有下坡方向的鞍点。矩阵补全[4][4] R. Ge, J. D. Lee, and T. Ma, “Matrix Completion has No Spurious Local Minimum,” arXiv:1605.07272, 2016. https://arxiv.org/abs/1605.07272、字典学习和相位恢复[5][5] J. Sun, Q. Qu, and J. Wright, “When Are Nonconvex Problems Not Scary?,” arXiv:1510.06096, 2015. https://arxiv.org/abs/1510.06096都被证明属于这一类。再加上“梯度下降几乎不会停在严格鞍点上”这样的结果[6][6] J. D. Lee, M. Simchowitz, M. I. Jordan, and B. Recht, “Gradient Descent Converges to Minimizers,” arXiv:1602.04915, 2016. https://arxiv.org/abs/1602.04915，就能解释为什么简单的算法够用。前面实验里，只有恰好从实轴出发的轨迹会停在鞍点，就是这个结果的一个小例子：实轴在复平面里是一条线，随机起点落上去的概率是 0。

把这些论文的论证结构摊开，和阿尔冈的证明一模一样：目标函数在远处趋于无穷，所以最小值存在；任何不是全局最优的驻点都有下降方向，所以局部最优就是全局最优。

有一处细节反而是代数基本定理更强。机器学习里常要求鞍点是“严格”的：Hessian 矩阵（二阶偏导数组成的矩阵）至少有一个负特征值，也就是至少有一个方向往下弯，靠二阶信息就能找到下坡方向。可达朗贝尔引理里的 $k$ 可以是 3、4 或者更大。比如 $p(z)=z^3+1$ 在 $z=0$ 处，$k=3$，那里的二阶导数全是零，像一个“猴鞍”（有三个下坡方向，给猴子的尾巴也留了位置），二阶信息看不出任何下降方向。引理直接用 $k$ 阶项和 $k$ 次方根找到了路。对一般函数，处理这种高阶退化的鞍点要难得多，但多项式的结构让它变得很简单。

结语

回头看，代数基本定理这个名字有点误导。它的证明几乎不用代数，用的是两样分析里的东西：有界闭集上的连续函数能取到最小值，以及复数能开 $k$ 次方。前者保证最低点存在，后者保证最低点之外总有下山的路。

第一次学的时候，我只把它当成“根一定存在”的前提，看完就翻过去了。现在再看，它其实已经把后面要讲的很多事情都预告了：求根可以变成找最低点；找最低点能不能成功，取决于地形里有没有假坑；而好的空间、好的结构，能让假坑消失。

参考文献

1. [1] H. D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, and R. Remmert, Numbers. Springer, 1991. Chapter 4, R. Remmert, The Fundamental Theorem of Algebra. ↩
2. [2] B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra. Springer, 1997. ↩
3. [3] J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical Optimization, 2nd ed. Springer, 2006. ↩
4. [4] R. Ge, J. D. Lee, and T. Ma, “Matrix Completion has No Spurious Local Minimum,” arXiv:1605.07272, 2016. https://arxiv.org/abs/1605.07272 ↩
5. [5] J. Sun, Q. Qu, and J. Wright, “When Are Nonconvex Problems Not Scary?,” arXiv:1510.06096, 2015. https://arxiv.org/abs/1510.06096 ↩
6. [6] J. D. Lee, M. Simchowitz, M. I. Jordan, and B. Recht, “Gradient Descent Converges to Minimizers,” arXiv:1602.04915, 2016. https://arxiv.org/abs/1602.04915 ↩