样条插值

在多项式插值与Hermite 插值中，我们构造的都是跨越整个定义域 $[a, b]$ 的全局单一多项式。

全局高次多项式面临一个固有的架构缺陷：全局刚性。因为整条曲线被同一个解析式支配，只要在局部微调一个采样点，由此引发的波动就会传导至整个区间。当实际工程中的采样点膨胀到成百上千个时，全局高次拟合不仅条件数恶化，而且计算极不稳定。

现代数值计算的破局之道是分段逼近：将大区间 $[a, b]$ 细分为若干子区间，在每个区间上分别拟合低次多项式，并在交界节点处施加严格的光滑拼接。

本篇笔记系统建立分段插值与三次样条的理论框架[1][1] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011., [2][2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026.：

1. 分段线性插值：推导带有精确常数 $1/8$ 的 $\frac{h^2}{8} \max |f''|$ 一致误差界；
2. 分段二次插值：基于区间中点的 $\mathcal{O}(h^3)$ 局部逼近；
3. 三次样条插值：在 $C^2$ 光滑度与未知自由度之间建立严谨核算；
4. 三大边界条件：对比自然边界、固支边界与非节点边界，剖析边界曲率不兼容时的降阶现象；
5. 三弯矩方程组：推导严格对角占优的三对角线性系统，以 $\mathcal{O}(n)$ 复杂度快速求解；
6. 方法决策全景图：系统整理各类插值方法的选用边界。

分段线性插值

最朴素的分段逼近方法，是用折线段顺次连接相邻的已知数据点。

定义分段线性插值函数

设剖分 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ 将区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 个子区间。在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，线性插值多项式定义为：

$$L_i(x) = f(x_i) \frac{x_{i+1} - x}{x_{i+1} - x_i} + f(x_{i+1}) \frac{x - x_i}{x_{i+1} - x_i}.$$

全局分段线性插值函数由各段拼合而成：当 $x \in [x_i, x_{i+1}]$ 时，$L(x) = L_i(x)$。

在任意内部分界节点 $x_i$ 处，左右相邻两段的函数值相等：$L_{i-1}(x_i) = f(x_i) = L_i(x_i)$。因此全局折线是连续的：$L \in C^0([a, b])$。但两侧的斜率 $L'_{i-1}$ 与 $L'_i$ 通常并不相等，接缝处保留着尖锐折角，故 $L \notin C^1([a, b])$。

精确常数的一致误差上界

引理子区间二次因式极值

设子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 长度为 $h_i = x_{i+1} - x_i$。定义在 $[x_i, x_{i+1}]$ 上的二次多项式 $q(x) = (x - x_i)(x_{i+1} - x)$ 满足

$$\max_{x \in [x_i, x_{i+1}]} |(x - x_i)(x_{i+1} - x)| = \frac{h_i^2}{4},$$

且该最大值在区间中点 $x_m = \frac{x_i + x_{i+1}}{2}$ 处唯一取得。

证明

展开二次函数 $q(x) = -x^2 + (x_i + x_{i+1})x - x_i x_{i+1}$，其导数为 $q'(x) = -2x + (x_i + x_{i+1})$。令导数归零，解出驻点位于中点：$x_m = (x_i + x_{i+1})/2$。

因为二阶导数 $q''(x) = -2 < 0$，函数图像为开口向下的抛物线，极大值即为最大值：

$$q(x_m) = (x_m - x_i)(x_{i+1} - x_m) = \left( \frac{h_i}{2} \right) \left( \frac{h_i}{2} \right) = \frac{h_i^2}{4}.$$

而在两端点处 $q(x_i) = q(x_{i+1}) = 0$，因此该上界在整段子区间上严格成立。

定理分段线性插值误差界

设 $f \in C^2([a, b])$，且最大步长为 $h = \max_i (x_{i+1} - x_i)$。则全局误差满足：

$$\max_{x \in [a, b]} |f(x) - L(x)| \le \frac{h^2}{8} \max_{t \in [a, b]} |f''(t)|.$$

证明

在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，根据 Cauchy 插值误差公式，对每个 $x \in [x_i, x_{i+1}]$ 均存在中间点 $\xi_x \in (x_i, x_{i+1})$ 满足

$$f(x) - L_i(x) = \frac{f''(\xi_x)}{2} (x - x_i)(x - x_{i+1}).$$

两边取绝对值并结合引理 1：

$$|f(x) - L_i(x)| \le \frac{1}{2} \left( \max_{t \in [x_i, x_{i+1}]} |f''(t)| \right) \left( \frac{h_i^2}{4} \right) = \frac{h_i^2}{8} \max_{t \in [x_i, x_{i+1}]} |f''(t)|.$$

在所有子区间 $i = 0, \dots, n-1$ 上取最大值，即得全局一致估计。

如果直接对绝对值因式放缩 $|x - x_i| \le h_i$ 和 $|x - x_{i+1}| \le h_i$，得到的系数是较为粗糙的 $1/2$。利用抛物线顶点性质，将领先常数收紧到 $1/8$，精度提升了 4 倍。其收敛速度为二阶：网格步长减半，最大误差缩小至四分之一。

分段二次插值

为了进一步提高逼近阶数，可以在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，除了两个端点外，额外采集子区间中点 $m_i = (x_i + x_{i+1})/2$ 处的函数值：

$$(x_i, f(x_i)), \quad (m_i, f(m_i)), \quad (x_{i+1}, f(x_{i+1})).$$

在各个子区间内部，这是一个三节点二次 Lagrange 插值问题。若 $f \in C^3$，局部截断误差具备如下形式：

$$f(x) - Q_i(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!} (x - x_i)(x - m_i)(x - x_{i+1}),$$

收敛速度提升至三阶 $\mathcal{O}(h_i^3)$。

然而，分段抛物线在相邻区间的交界节点 $x_i$ 处仍然无法保证斜率吻合：$Q'_{i-1}(x_i) \neq Q'_i(x_i)$。曲线在节点处依旧存在肉眼可见的尖点与折光。

三次样条插值

为了彻底消除斜率与曲率的跳跃断裂，且无需盲目抬高多项式次数，我们引入三次样条插值。

“样条（Spline）”原本是指造船和制图工人使用的一种富有弹性的细木条。绘图时用重铁压块（Ducks）将木条固定在若干特征点上，木条在弹性形变下自然弯曲，能量泛函取极小，从而在整条曲线上保持连续的二阶导数。

定义三次样条插值函数

设剖分 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$。若函数 $S(x)$ 满足如下条件，则称其为穿过数据点 $(x_i, f(x_i))$ 的三次样条插值函数：

1. 分段三次：在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，$S(x) = S_i(x)$ 为次数不超过 $3$ 的多项式；
2. 点值插值：对每个节点均满足 $S(x_i) = f(x_i)$（$i = 0, 1, \dots, n$）；
3. $C^2$ 高度光滑：函数自身 $S(x)$、一阶导数 $S'(x)$ 以及二阶导数 $S''(x)$ 在整个区间 $[a, b]$ 上处处连续。

约束核算与自由度守恒

核对三次样条多项式的待定系数与方程约束：

• 共有 $n$ 个子区间，每个子区间是一条三次曲线 $S_i(x) = a_i + b_i x + c_i x^2 + d_i x^3$；
• 每段有 4 个待定未知数，总未知系数为 $4n$ 个；
• 各段端点插值条件：每段子区间的左右两个端点必须咬合给定数据点，共提供 $2n$ 个方程；
• 内节点一阶导数连续：在 $n-1$ 个内部分界点处要求斜率衔接 $S'_{i-1}(x_i) = S'_i(x_i)$，提供 $n-1$ 个方程；
• 内节点二阶导数连续：在 $n-1$ 个内部分界点处要求曲率衔接 $S''_{i-1}(x_i) = S''_i(x_i)$，提供 $n-1$ 个方程。

将所有内部约束相加：

$$2n + (n - 1) + (n - 1) = 4n - 2.$$

比较未知数与约束数：

$$4n - (4n - 2) = 2 \text{ 个剩余自由度}。$$

为了使三次样条方程组具备唯一解，必须额外指定且仅指定两个边界条件。

样条边界条件分类

在数值分析中，最常用的三种边界处理方案为：

定义常用三次样条边界条件

1. 自然边界条件（Natural / Free Boundary）：

$$S''(x_0) = 0 \quad \text{且} \quad S''(x_n) = 0.$$

强制曲线在两端点处的二阶导数归零，几何形态等价于两端自由伸展的弹性薄板。 2. 固支边界条件（Clamped / Complete Boundary）：

$$S'(x_0) = f'(x_0) \quad \text{且} \quad S'(x_n) = f'(x_n).$$

直接锁定两端点的切线斜率，使其精准对齐真实函数的一阶导数。 3. 非节点边界条件（Not-a-knot Boundary）：

$$S'''(x) \text{ 在 } x_1 \text{ 与 } x_{n-1} \text{ 处连续}。$$

这迫使第一段与第二段合为同一个三次多项式，最后两段也合为同一个三次多项式，使内部首尾节点不再是分段断点（要求 $n \ge 3$）。

精度核验：自然边界的曲率失配陷阱

教材中常笼统提及三次样条具备四阶一致收敛率 $\mathcal{O}(h^4)$。需要注意：该结论对固支边界和非节点边界严格成立，但对自然边界存在适用前提。

对于 $f \in C^4([a, b])$，固支边界能够确保误差被四阶导数控制：

$$\max_{x \in [a, b]} |f(x) - S(x)| \le C h^4 \max_{t \in [a, b]} |f^{(4)}(t)|.$$

然而，自然边界条件强制了 $S''(a) = S''(b) = 0$。如果待逼近的原函数在端点处原本具有非零曲率（$f''(a) \neq 0$ 或 $f''(b) \neq 0$），边界处就会发生强制曲率失配。

以二次函数 $f(x) = x^2$ 为例，其四阶导数恒等于零 $f^{(4)} \equiv 0$。但自然样条在边界处被强制赋予二阶导数为 0（而真实函数二阶导数为 2），导致样条根本无法精确复原 $x^2$。在此类曲率不兼容的情况下，自然样条的全局收敛率会退化为二阶：

$$\max_{x \in [a, b]} |f(x) - S_{\text{natural}}(x)| = \mathcal{O}(h^2).$$

只有当原函数在边界处恰好自然满足 $f''(a) = f''(b) = 0$ 时，自然样条的四阶收敛速度方能得以恢复。

三弯矩方程组与三对角快速求解

若直接将 $4n$ 个多项式多项式系数代入联立方程组，规模庞大且计算低效。在数值计算中，通常以各节点处的二阶导数（弯矩）作为核心未知数：

$$M_i = S''(x_i), \quad i = 0, 1, \dots, n.$$

由于每段 $S_i(x)$ 是三次多项式，其二阶导数 $S''_i(x)$ 在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上必然是线性函数。利用线性插值公式：

$$S''_i(x) = M_i \frac{x_{i+1} - x}{h_i} + M_{i+1} \frac{x - x_i}{h_i}, \quad h_i = x_{i+1} - x_i.$$

将 $S''_i(x)$ 连续两次积分，并代入端点值条件 $S_i(x_i) = y_i$ 和 $S_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$，可以直接写出样条解析式：

$$S_i(x) = M_i \frac{(x_{i+1} - x)^3}{6 h_i} + M_{i+1} \frac{(x - x_i)^3}{6 h_i} + \left( y_i - \frac{M_i h_i^2}{6} \right) \frac{x_{i+1} - x}{h_i} + \left( y_{i+1} - \frac{M_{i+1} h_i^2}{6} \right) \frac{x - x_i}{h_i}.$$

这一构造天然满足了数值插值与二阶导数连续性。接下来，只需强制一阶导数在各个内节点处光滑衔接：

$$S'_{i-1}(x_i) = S'_i(x_i), \quad i = 1, 2, \dots, n - 1.$$

对 $S_i(x)$ 求导并令两侧导数相等，整理即得经典的三弯矩方程组：

定理三对角样条方程组（三弯矩方程）

对每个内部节点 $i = 1, 2, \dots, n - 1$，二阶导数序列 $M_i = S''(x_i)$ 满足：

$$h_{i-1} M_{i-1} + 2(h_{i-1} + h_i) M_i + h_i M_{i+1} = 6 \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - \frac{y_i - y_{i-1}}{h_{i-1}} \right).$$

在自然边界条件下，由于 $M_0 = M_n = 0$，上式构成关于内部未知量 $M_1, \dots, M_{n-1}$ 的 $(n-1) \times (n-1)$ 阶线性方程组：

$$\begin{bmatrix} 2(h_0 + h_1) & h_1 & 0 & \dots & 0 \\ h_1 & 2(h_1 + h_2) & h_2 & \dots & 0 \\ 0 & h_2 & 2(h_2 + h_3) & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & h_{n-2} & 2(h_{n-2} + h_{n-1}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ \vdots \\ M_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ \vdots \\ d_{n-1} \end{bmatrix}.$$

观察系数矩阵的每一行：

$$2(h_{i-1} + h_i) > h_{i-1} + h_i.$$

主对角线元素严格大于非对角元素绝对值之和，矩阵满足严格对角占优，且对称正定。由 Gershgorin 圆盘定理可知，该矩阵必然非奇异且条件数良好。

利用专门针对三对角矩阵的 Thomas 追赶法（Tridiagonal Gaussian Elimination），可以在严格的 $\mathcal{O}(n)$ 时间复杂度与 $\mathcal{O}(n)$ 空间内完成求解。

注与教材待定系数形式的符号对齐

在经典教材体系中[1][1] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.，三次样条常以各子区间左端点为基准展开为：

$$S_j(x) = a_j + b_j(x - x_j) + c_j(x - x_j)^2 + d_j(x - x_j)^3, \quad x \in [x_j, x_{j+1}].$$

由于 $S''_j(x_j) = 2 c_j = M_j$，三弯矩法求得的节点二阶导数 $M_j$ 与教材系数具有直接的一一映射：

$$a_j = y_j, \quad c_j = \frac{M_j}{2}, \quad d_j = \frac{M_{j+1} - M_j}{6 h_j}, \quad b_j = \frac{y_{j+1} - y_j}{h_j} - \frac{2 M_j + M_{j+1}}{6} h_j.$$

将三弯矩方程两端同除以 $3$，即严格等价于教材中关于未知量 $c_j$ 的三对角方程组。

这个交互图需要启用 JavaScript。

插值方法综合决策对比

至此，我们已经建立了完整的插值知识谱系：

插值方法	所需输入数据	多项式次数	全局光滑度	误差收敛速度	局部敏感性与稳定性
Lagrange / Newton	离散采样值 $f(x_i)$	$n$（全局）	$C^\infty$	视情况而定（等距网格易发散）	全局刚性：单点扰动影响全域波形
Chebyshev 插值	Chebyshev 根采样值	$n$（全局）	$C^\infty$	解析函数下呈几何级快速收敛	全局刚性：需要自由决定节点位置
Hermite 插值	采样值 $f(x_i)$ 与导数 $f'(x_i)$	$2n + 1$（全局）	$C^\infty$	局部误差 $\mathcal{O}(h^{2n+2})$	全局刚性：锁定切线但全局阶数剧增
分段线性插值	离散采样值 $f(x_i)$	$1$（局部）	$C^0$	$\mathcal{O}(h^2)$，精确常数为 $1/8$	严格局部：扰动仅波及相邻两个分段
分段二次插值	采样值及区间中点值	$2$（局部）	$C^0$	$\mathcal{O}(h^3)$	严格局部：接缝处仍有明显折角
固支三次样条	采样值及两端切线斜率	$3$（局部段）	$C^2$	全局一致 $\mathcal{O}(h^4)$ 四阶收敛	局部指数衰减：扰动随距离快速衰减
自然三次样条	采样值及 $S''(a)=S''(b)=0$	$3$（局部段）	$C^2$	曲率失配时为 $\mathcal{O}(h^2)$，否则四阶	局部指数衰减：端点无曲率弯矩

三次样条打破了全局高次多项式的垄断，在 $C^2$ 的优异光滑度、线性的 $\mathcal{O}(n)$ 求解效率以及稳健的局部控制之间取得了平衡，成为工业造型、航迹规划与科学仿真的黄金标准。

参考文献

1. [1] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011. a b
2. [2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026. ↩