自适应 Simpson 积分

均匀网格把同样的计算量分配给每个位置，但函数可能只在一小段区域变化剧烈。自适应积分先估计每块误差，再把计算集中到尚未满足要求的区间。

本章以 lecture note 第 5.12 节为主要依据，沿用 $S(a,b)$、$S_2$、绝对误差估计 $E$ 与容许误差 $\mathrm{tol}$。$\Delta=S_2-S(a,b)$ 和 $Q_{\mathrm{corr}}$ 是为推导引入的辅助记号。讲义的算法接受 $S_2$；本文还明确给出 Richardson 修正选项，并在实验中使用该修正。不把经验估计写成严格保证[1][1] S. Rojas, “Lecture Notes on Computational Mathematics,” 2025. Course lecture note distributed with MTH2051; local source course-lecture-notes.pdf., [2][2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026., [3][3] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.。

粗块、细块与分母十五

令 $m=(a+b)/2$、$L=b-a$。粗块 Simpson 值为

$$S(a,b)=\frac L6[f(a)+4f(m)+f(b)].$$

把区间一分为二，定义

$$S_2=S(a,m)+S(m,b),\qquad \Delta=S_2-S(a,b).$$

粗计算使用三个点，细计算新增两个四分点。

定理局部 Richardson 误差估计

若 $f\in C^6$，在收缩的区间上且相关导数一致有界，则

$$I-S_2=\frac{\Delta}{15}+O(L^7),$$

所以修正值

$$Q_{\mathrm{corr}}=S_2+\frac{\Delta}{15}$$

具有局部误差 $O(L^7)$。沿用讲义，以 $E=|\Delta|/15$ 作为绝对误差的数值估计；它不是精确误差。

证明

在中点做 Taylor 展开至五次项，余项为 $O(L^6)$。积分与 Simpson 对次数至多三的项精确，对称性消去五次项，四次项给出

$$I-S(a,b)=-\frac{L^5}{2880}f^{(4)}(m)+O(L^7).$$

两个半块分别贡献长度 $(L/2)^5$ 的项。其中心的四阶导数平均与 $f^{(4)}(m)$ 相差 $O(L^2)$，所以

$$I-S_2=-\frac{L^5}{46080}f^{(4)}(m)+O(L^7).$$

因此粗误差首项是细误差的十六倍。相减得 $\Delta=15(I-S_2)+O(L^7)$。除以十五并修正，即得结论。需要 $C^6$ 才有这里的七次余项控制；仅凭通常的 $C^4$ Simpson 定理，不能自动推出这个强余项。

注讲义误差系数的核对

讲义第 5.12 节把两半块误差相加后印成分母 $92160$；由 $2(L/2)^5/2880=L^5/46080$ 可知，正确分母是 $46080$。因此粗细首项之比为十六。这里沿用讲义的 $S_2,E,\mathrm{tol}$ 记号，但系数与符号以以上推导为准。

分母十五估计的是两块细 Simpson 的总误差。它不是单独一块的误差，也不是修正值的严格上界。区间尚未细到渐近规律有效时，这个估计可能漏掉重要特征。

分配容许误差

给当前块分配绝对容许误差 $\mathrm{tol}>0$。若 $|\Delta|\leq15\mathrm{tol}$，接受修正值；否则分别递归左右半块，各分配 $\mathrm{tol}/2$。

命题容许误差总额守恒

从根区间的 $\mathrm{tol}$ 出发，每次将父块额度平分，所有末级区间的额度之和始终为 $\mathrm{tol}$。

证明

最初只有一个额度 $\mathrm{tol}$。一次分裂将一个数 $u$ 替换为 $u/2+u/2$，不改变总和。对分裂次数归纳即可。

如果每个末级区间的真实误差确实不超过各自额度，则三角不等式保证总误差不超过 $\mathrm{tol}$。算法检查的却只是 $E$，所以额度守恒本身并不证明真实误差达标。

若另有已证明的局部四阶导数界 $B_4$，可以对未修正的细 Simpson 值使用

$$|I-S_2|\leq\frac{L^5B_4}{46080}.$$

证明是对两个半块分别使用单块误差界再相加。这样的导数界才提供严格保证，与仅从两个数值差得到的估计有不同的证据要求。

递归算法与采样复用

算法 1 自适应 Simpson 的递归步骤

Require: 区间 $[a,b]$，已缓存 $f(a),f(m),f(b),S(a,b)$，额度 $\mathrm{tol}$，剩余深度 $d$

1:计算两个四分点的函数值

2:$S_L\gets S(a,m)$，$S_R\gets S(m,b)$

3:$\Delta\gets S_L+S_R-S(a,b)$

4:if $|\Delta|\leq15\mathrm{tol}$ then

5:return $(S_L+S_R+\Delta/15,\ \mathrm{accepted})$

6:end if

7:if $d=0$ then

8:return $(S_L+S_R+\Delta/15,\ \mathrm{limit})$

9:end if

10:递归左半区间，缓存对应函数值，额度 $\mathrm{tol}/2$，深度 $d-1$

11:递归右半区间，缓存对应函数值，额度 $\mathrm{tol}/2$，深度 $d-1$

12:return 两个子结果之和及合并状态

接受状态表示估计检查通过；达到限制表示估计尚未达标就停止。调用者不能把后一种情况包装成成功。实际实现还要检查非有限函数值，以及中点或四分点是否由于浮点分辨率不足而与端点重合。

网页实验缓存已有采样：递归一次只新增两个函数值。若最终有 $N$ 个末级区间，二叉树共有 $2N-1$ 个访问节点，每次访问新增两个值，连同最初三个，调用总数为 $4N+1$。树节点数的证明是：每次分裂让末级区间数增加一，并让总节点数增加二。

交互实验：网格如何适应函数

这个交互图需要启用 JavaScript。

先选光滑指数函数，再选窄峰。调整容许误差，查看末级区间边界、函数调用数、估计之和以及真实误差。将最大深度降到零，可以直接检查“达到限制”的状态是否保留下来。

平方根在端点不满足本章的光滑性要求。算法仍可能给出有用的结果，但这里的渐近证明不能直接解释其全部表现。

为什么估计可能完全漏掉误差

反例最初五个采样点都为零

在 $[0,1]$ 上取

$$f(x)=\prod_{r=0}^4\left(x-\frac r4\right)^2.$$

粗块与细块的所有采样都为零，所以 $S=S_2=\Delta=0$。算法对任意正的 $\mathrm{tol}$ 都会立即接受并返回零。然而

$$\int_0^1f(x)\,dx=\frac5{1419264}>0.$$

证明

五个采样点就是多项式的根。多项式非负，在其他位置严格为正，所以积分正。精确常数可由展开平方后逐项积分核验；例如未平方的积为

$$x^5-\frac52x^4+\frac{35}{16}x^3-\frac{25}{32}x^2+\frac3{32}x.$$

平方并对各单项式使用 $\int_0^1x^k\,dx=1/(k+1)$，即得所列分数。这个例子甚至是光滑多项式，说明仅有光滑性并不能保证第一次粗网格的估计已经可信。

实验中的“采样漏掉的正多项式”就是这个例子。还可把它乘上任意正常数，让实际误差任意增大，而采样结果仍全为零。这证明只靠有限个函数值，不附加函数类别或导数界，就不能提供普遍的严格积分误差保证。

怎样解释结果

同时保留近似值、估计误差、函数调用数和停止状态。已知断点或尖峰位置时，先分段比盲目递归更可靠。需要严格保证时，采用可证明的导数界或区间方法；只需要高效近似时，仍应比较不同初始分段和其他公式的结果。

至此，六章形成一条连贯路线：差分和求积来自局部多项式，复合公式累积局部误差，外推消去已有误差项，Gauss 用正交性选择节点，自适应方法根据局部估计分配计算量。每种改进都需要自己的数学条件。

其他公式的自适应估计

讲义第 5.12 节也讨论一般 $p$ 阶公式。令 $Q_0$ 为粗块近似、$Q_2$ 为两半块近似；这是区分网格的辅助记号。若相同首项模型使 $I-Q_0\approx2^p(I-Q_2)$，相减即有

$$I-Q_2\approx\frac{Q_2-Q_0}{2^p-1},\qquad E\approx\frac{|Q_2-Q_0|}{2^p-1}.$$

每块采用 $n$ 点 Gauss 公式时，复合精度阶数为 $p=2n$，分母相应为 $2^{2n}-1$。这个估计仍依赖光滑性和首项模型；不能因更换求积公式，就把差值估计当成真实误差界。

参考文献

1. [1] S. Rojas, “Lecture Notes on Computational Mathematics,” 2025. Course lecture note distributed with MTH2051; local source course-lecture-notes.pdf. ↩
2. [2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026. ↩
3. [3] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011. ↩