复合求积

单块求积用一个低次多项式近似整个区间；复合求积把区间细分，再逐块使用同一个低次公式。改进准确度靠的是缩小网格，而不是把全局插值次数不断提高。

本章沿用 lecture note 第 5.6 节的网格约定：$n$ 是小区间数，节点有 $n+1$ 个。设

误差始终写成 $I-Q$。下面由单块误差定理推导全局常数，避免混淆小区间宽度与 Simpson 块宽度[1][1] S. Rojas, “Lecture Notes on Computational Mathematics,” 2025. Course lecture note distributed with MTH2051; local source course-lecture-notes.pdf., [2][2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026., [3][3] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.。

三个复合公式

局部误差如何累积成全局误差

于是梯形和中点的全局精度是二阶，Simpson 是四阶。单块 $O(h^3)$ 的误差乘上约 $1/h$ 个块后变成 $O(h^2)$，不能把局部阶数直接当作全局阶数。这些是上界意义的阶数；若首项系数为零，具体函数可能表现出更高阶甚至完全精确。

将余项导数换成最大绝对值，就得到可计算的界。记

例如 Simpson 的充分条件是

因此可选择不小于 $((b-a)^5B_4/(180\mathrm{tol}))^{1/4}$ 的最小正偶数。这需要真正可用的导数界；仅由两个网格结果接近，不能得到同样的保证。

凸函数、界与成本

若 $f''\geq0$，误差定理给出 $M_n\leq I\leq T_n$。也可从凸性直接证明：每块上，函数图像在端点连线之下，积分不超过梯形；关于中点的对称两点平均至少为中点函数值，积分后至少为中点近似。

一次直接计算的函数调用数分别为：梯形 $n+1$，中点 $n$，Simpson $n+1$。比较相同 $n$ 时，Simpson 必须取偶数；比较相同成本时，应另外核对实际调用数。高阶规则的误差常数涉及不同阶导数，并不存在对所有函数都更好的固定排序。

这些是任意函数采样值之间的代数恒等式，不需要光滑性。它们的四阶误差结论仍然需要前面的条件。后一个表达式也是第一层 Richardson 外推的来源。

观测阶数与光滑性失效

若误差有非零首项 $I-Q(h)=Ch^p+o(h^p)$，则

证明只需将分子、分母分别除以 $h^p$，再取极限；$C\ne0$ 保证分母最终不为零。只有误差上界 $O(h^p)$ 时，不能反推该比值一定趋于 $2^p$。

对 $f(x)=\sqrt{x}$，端点导数无界，标准二阶与四阶定理均不适用。开放式公式不取端点，并不能恢复缺失的光滑性。甚至可严格证明其复合中点误差绝对值是 $\Theta(h^{3/2})$：第一块误差为 $(2/3-1/\sqrt2)h^{3/2}$，其余块由凹性可知同为负；第 $i\geq1$ 块用局部二阶导数界控制，绝对值不超过 $h^{3/2}/(96i^{3/2})$。级数收敛，因此得到同阶上界，第一块给出非零下界。

交互实验与可执行例子

先用指数函数观察误差比，再改为平方根，检查高阶预期为什么失效。窄峰例子提醒我们：粗网格上的小误差差值可能只是没采到重要区域。

下面的实现与网页实验使用同一组权重；接口中的 $n$ 表示小区间数。

def composite_simpson(f, a, b, n):
    if not isinstance(n, int) or not a < b or n < 2 or n % 2:
        raise ValueError("require a < b and positive even n")
    h = (b - a) / n
    total = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n):
        total += (4 if i % 2 else 2) * f(a + i * h)
    return h * total / 3

在 $[0,1]$ 上积分 $x^4$ 时，误差恰为 $-2h^4/15$，因为四阶导数恒为 $24$。用这个算例核对程序的权重、误差符号和网格定义，比只比较一个小数结果更有效。