数值表示、逼近、算法，以及如何对数学对象进行计算。
计算数学研究有限精度计算环境下如何精确表示、逼近与分析连续数学对象。先理解数值误差与算法质量四要素，再掌握求根算法（二分法、不动点迭代、Newton 法），接着系统推进到多项式插值代数构造、误差理论与 Chebyshev 节点、带导数约束的 Hermite 插值，以及分段三次自然样条。整条路径将算法的数学假设与收敛阶数、数值稳定性紧密联系起来。
这些笔记按主题整理 MTH2051 的核心思想。应用练习与考核材料留在课程私有档案中，数值微分与积分部分现已覆盖第 6–9 周：从差分构造、Newton–Cotes 与复合求积，推进到 Richardson/Romberg、Gauss–Legendre 和自适应 Simpson。每章包含条件明确的证明、统一插图与可操作的数值实验。多重积分与反常积分留待后续专题。
一个算出来的数，会继承建模取舍、截断、舍入，以及判断算法是否可信的四个性质。
根与不动点、二分法的括号不变式，以及闭区间上的压缩映射。
把 Newton 法看成局部压缩映射，二次收敛，以及非线性方程组上的同一想法。
穿过离散采样点的多项式代数构造：Lagrange 基、存在唯一性，以及 Newton 差商递推形式。
Cauchy 型插值误差余项公式、Runge 恶性发散现象，以及通过 Chebyshev 节点极小化极大误差的几何机制。
兼顾数值与导数的多项式插值：双重根唯一性、平方基解耦机制、误差二阶切触，以及重节点差商算法。
从全局僵硬迈向局部光滑：分段线性误差、三次样条自由度核算、边界条件，以及三弯矩三对角方程组。
从 Taylor 与插值构造差分公式，证明误差常数，并分析截断与舍入之间的步长选择。
推导开放与闭式求积权重，用 Peano 核证明代数精度和带符号的误差。
拼接梯形、中点与 Simpson 公式，证明全局误差和网格恒等式，分析光滑性失效。
消去已知误差幂次，证明有限阶 Euler–Maclaurin 展开，构造复用采样的 Romberg 表。
用正交性选择节点，证明根的性质、最高代数精度、正权重及 Hermite 误差公式。
推导分母十五的修正，分配容许误差，并用光滑反例说明误差估计的局限。