Hermite 插值 | 杨星宇

在多项式插值中，曲线仅受限于离散点的位置值： $P_n(x_i) = y_i$ 。

但在力学系统、航迹规划与机器人控制中，传感器往往同时记录了位置坐标与运动速度：

f(x_i) = y_i \quad \text{以及} \quad f'(x_i) = y'_i.

若仍采用普通的点值插值，生成的多项式虽然能够穿过各个路标，却会对各点的切线朝向视而不见，容易在采样点之间诱发不自然的剧烈摆动。

Hermite 插值将导数约束直接纳入多项式求解框架[1], [2]：

Hermite 插值问题：在 $P_{2n+1}$ 空间中匹配 $2(n+1)$ 个数值与导数条件；
存在唯一性定理：利用代数双重根因式分解证明唯一性，通过秩零化度定理证明双射存在；
基函数解耦哲学：利用平方 Lagrange 基（ $\ell_i(x)^2$ ）消除不同节点间的导数串扰；
误差余项与切触几何：证明平方节点乘积项 $\prod (x - x_i)^2$ ，揭示误差曲线在节点处的二阶相切特征；
重节点差商形式：将差商递归拓展到重节点，规避浮点接近判断陷阱；
不完全条件与密切插值：建立从离散插值向 Taylor 展开的渐进过渡。

Hermite 插值问题定义

定义Hermite 插值多项式

设 $a < b$ ， $f \in C^1([a, b])$ ，且 $x_0, x_1, \dots, x_n$ 为闭区间 $[a, b]$ 内的 $n+1$ 个两两互异节点。Hermite 插值多项式即为满足如下条件的多项式 $H_{2n+1} \in P_{2n+1}$ ：

H_{2n+1}(x_i) = f(x_i) \quad \text{且} \quad H'_{2n+1}(x_i) = f'(x_i), \quad i = 0, 1, \dots, n.

这里 $P_m$ 表示次数不超过 $m$ 的实多项式空间，其维数为 $\dim(P_m) = m+1$ 。

对约束条件进行维数核对：

共有 $n+1$ 个独立节点；
每个节点提供 2 个标量方程（1 个函数值，1 个一阶导数值）；
总约束方程数为 $N = 2(n+1) = 2n + 2$ ；
能够保证线性方程组对于任意右端项均有唯一解的多项式空间，其维数需为 $2n + 2$ ，对应多项式的最高次数为 $d = N - 1 = 2n + 1$ 。

存在与唯一性定理

维数吻合并不等价于线性方程组必定满秩可解。以下利用多项式重根性质给出严密的唯一性与存在性证明。

定理Hermite 插值的存在唯一性

在定义 1 的假设下，在多项式空间 $P_{2n+1}$ 中存在且仅存在一个多项式 $H_{2n+1}$ ，同时满足全部 $2n+2$ 个数值与导数条件。

证明

唯一性证明（双重根因式分解）：设有两个多项式 $H_1, H_2 \in P_{2n+1}$ 均满足上述 Hermite 条件：

H_1(x_i) = H_2(x_i) = f(x_i) \quad \text{且} \quad H'_1(x_i) = H'_2(x_i) = f'(x_i), \quad i = 0, 1, \dots, n.

定义差多项式 $Q(x) = H_1(x) - H_2(x)$ 。由于 $P_{2n+1}$ 是线性空间，故 $Q \in P_{2n+1}$ ，其次数不超过 $2n+1$ （或 $Q \equiv 0$ ）。

在每个节点 $x_i$ 处计算 $Q$ 及其导数的取值：

\begin{aligned} Q(x_i) &= H_1(x_i) - H_2(x_i) = f(x_i) - f(x_i) = 0, \\ Q'(x_i) &= H'_1(x_i) - H'_2(x_i) = f'(x_i) - f'(x_i) = 0. \end{aligned}

由多项式因式定理，可微多项式若在某点同时满足函数值与导数值归零，则该点必为多项式的至少二重根（重数 $\ge 2$ ）。因此， $(x - x_i)^2$ 必为 $Q(x)$ 的因子。

由于各节点 $x_0, x_1, \dots, x_n$ 两两互异，多项式因式 $(x - x_0)^2, \dots, (x - x_n)^2$ 两两互素。它们的乘积必须整除 $Q(x)$ ：

\prod_{i=0}^n (x - x_i)^2 \;\Big|\; Q(x) \implies Q(x) = g(x) \prod_{i=0}^n (x - x_i)^2,

其中 $g(x)$ 为某个多项式。

分析次数关系：

乘积因子的次数为 $\sum_{i=0}^n 2 = 2(n + 1) = 2n + 2$ ；
若 $Q(x) \not\equiv 0$ ，则 $\deg Q = \deg g + (2n + 2) \ge 2n + 2$ ；
然而空间条件限制 $\deg Q \le 2n + 1$ 。

不等式 $2n + 2 \le \deg Q \le 2n + 1$ 产生矛盾。因此假设不成立，必有 $Q(x) \equiv 0$ ，即 $H_1 = H_2$ 。

存在性证明（线性代数同构）：定义线性算子

\mathcal{H}: P_{2n+1} \to \mathbb{R}^{2n+2}, \quad \mathcal{H}(p) = \Big( p(x_0), p'(x_0), p(x_1), p'(x_1), \dots, p(x_n), p'(x_n) \Big).

上述唯一性结论表明，若 $\mathcal{H}(p) = \mathbf{0}$ ，则必有 $p \equiv 0$ 。这意味着算子的核空间是平凡的： $\ker(\mathcal{H}) = \{0\}$ ，即算子是单射。

又因为两边向量空间的维数完全相等： $\dim(P_{2n+1}) = 2n + 2 = \dim(\mathbb{R}^{2n+2})$ ，根据线性代数中的秩零化度定理，有限维同维数空间之间的单射线性映射必然也是满射。因此 $\mathcal{H}$ 是双射：对于任意给定的数据向量，在 $P_{2n+1}$ 中总能找到唯一原像，从而严格证明了解的存在性。

基函数构造与平方解耦机制

为了直接写出多项式解，我们尝试将插值函数按基函数展开：

H_{2n+1}(x) = \sum_{i=0}^n \Big( f(x_i) h_i(x) + f'(x_i) \hat{h}_i(x) \Big).

这要求每个节点配备两个基多项式：

$h_i(x)$ 为数值选择子：在 $x_i$ 处取值为 $1$ 、导数为 $0$ ；在外来节点处数值与导数皆为 $0$ ；
$\hat{h}_i(x)$ 为导数选择子：在 $x_i$ 处取值为 $0$ 、导数为 $1$ ；在外来节点处数值与导数皆为 $0$ 。

为什么一次 Lagrange 基底失效

回顾 Lagrange 插值基 $\ell_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \in P_n$ 。虽然在外部节点处 $\ell_i(x_j) = 0$ （ $j \neq i$ ），但其导数 $\ell'_i(x_j)$ 通常不为零。如果直接使用 $\ell_i(x)$ ，对一个节点导数项的修改就会干扰所有其他节点的导数，产生严重的交叉串扰。

平方因式的解耦突破

考察 Lagrange 基函数的平方项 $\ell_i(x)^2 \in P_{2n}$ 。由链式法则：

\big(\ell_i^2\big)'(x) = 2 \ell_i(x) \ell'_i(x).

在任意外部节点 $x_j$ （ $j \neq i$ ）处代入：

函数值： $\ell_i(x_j)^2 = 0^2 = 0$ ；
导数值： $(\ell_i^2)'(x_j) = 2 \cdot 0 \cdot \ell'_i(x_j) = 0$ 。

平方运算在每个外部节点处天然制造了二阶零点，一举消除所有外部节点在数值与导数上的交叉串扰。

待定系数推导基函数

因为 $\ell_i(x)^2$ 属于 $P_{2n}$ ，乘以一次多项式 $(A(x - x_i) + B)$ 后阶数刚好为 $2n+1$ ，提供 2 个自由待定参数来满足本节点 $x_i$ 的要求。

定义Hermite 基多项式

对每个节点 $x_i$ （ $i = 0, \dots, n$ ），Hermite 基多项式显式构造为：

h_i(x) = \Big( 1 - 2\ell'_i(x_i)(x - x_i) \Big) \ell_i(x)^2, \quad \hat{h}_i(x) = (x - x_i) \ell_i(x)^2.

它们满足 4 个 Kronecker 选择子性质：

h_i(x_j) = \delta_{ij}, \quad h'_i(x_j) = 0, \quad \hat{h}_i(x_j) = 0, \quad \hat{h}'_i(x_j) = \delta_{ij}.

证明

记常数 $c_i = \ell'_i(x_i)$ 。

推导 $h_i(x)$ ：设 $h_i(x) = (A(x - x_i) + B)\ell_i(x)^2$ 。
- 代入本节点值 $h_i(x_i) = 1$ ：因为 $\ell_i(x_i) = 1$ ，有 $(A(0) + B)(1)^2 = B = 1$ 。
- 求导： $h'_i(x) = A \ell_i(x)^2 + (A(x - x_i) + 1) \cdot 2\ell_i(x)\ell'_i(x)$ 。
- 代入导数条件 $h'_i(x_i) = 0$ ： $A(1)^2 + (0 + 1) \cdot 2(1)(c_i) = A + 2c_i = 0 \implies A = -2c_i$ 。故得 $h_i(x) = (1 - 2\ell'_i(x_i)(x - x_i))\ell_i(x)^2$ 。
推导 $\hat{h}_i(x)$ ：设 $\hat{h}_i(x) = (C(x - x_i) + D)\ell_i(x)^2$ 。
- 代入本节点值 $\hat{h}_i(x_i) = 0$ ：有 $(C(0) + D)(1)^2 = D = 0$ 。
- 求导： $\hat{h}'_i(x) = C \ell_i(x)^2 + C(x - x_i) \cdot 2\ell_i(x)\ell'_i(x)$ 。
- 代入导数条件 $\hat{h}'_i(x_i) = 1$ ： $C(1)^2 + 0 = C = 1$ 。故得 $\hat{h}_i(x) = (x - x_i)\ell_i(x)^2$ 。

在外来节点 $x_j$ （ $j \neq i$ ）处，因为 $\ell_i(x_j) = 0$ 且 $\ell_i(x_j)^2 = 0$ ，函数值与导数值均严格为零。

两点正弦插值算例

例[0, 1] 区间上正弦函数的两点 Hermite 插值

取 $f(x) = \sin(\pi x)$ ，区间为 $[0, 1]$ ，节点数为 $n = 1$ （节点为 $x_0 = 0$ 与 $x_1 = 1$ ）。

第一步：计算节点处函数值与导数值：

\begin{aligned} f(0) &= \sin(0) = 0, \quad f'(0) = \pi \cos(0) = \pi, \\ f(1) &= \sin(\pi) = 0, \quad f'(1) = \pi \cos(\pi) = -\pi. \end{aligned}

第二步：求出线性 Lagrange 基及导数：

\ell_0(x) = \frac{x - 1}{0 - 1} = 1 - x \implies \ell'_0(0) = -1, \quad \ell_1(x) = \frac{x - 0}{1 - 0} = x \implies \ell'_1(1) = 1.

第三步：展开四个三次基函数：

在左节点 $x_0 = 0$ 处：

\begin{aligned} h_0(x) &= (1 - 2(-1)(x - 0))(1 - x)^2 = (1 + 2x)(1 - x)^2 = 1 - 3x^2 + 2x^3, \\ \hat{h}_0(x) &= (x - 0)(1 - x)^2 = x(1 - x)^2 = x - 2x^2 + x^3. \end{aligned}

在右节点 $x_1 = 1$ 处：

\begin{aligned} h_1(x) &= (1 - 2(1)(x - 1))x^2 = (3 - 2x)x^2 = 3x^2 - 2x^3, \\ \hat{h}_1(x) &= (x - 1)x^2 = x^3 - x^2. \end{aligned}

第四步：线性组合装配多项式：

\begin{aligned} H_3(x) &= f(0) h_0(x) + f'(0) \hat{h}_0(x) + f(1) h_1(x) + f'(1) \hat{h}_1(x) \\ &= 0 + \pi \hat{h}_0(x) + 0 - \pi \hat{h}_1(x) \\ &= \pi \Big( x(1 - x)^2 - x^2(x - 1) \Big) \\ &= \pi x(1 - x) \Big( (1 - x) - (-x) \Big) \\ &= \pi x (1 - x). \end{aligned}

三次项系数在此抵消，插值多项式退化为二次多项式。

对比纯值点插值：因为两端点 $f(0) = f(1) = 0$ ，普通的 Lagrange 线性多项式为割线 $P_1(x) \equiv 0$ ，完全丢失了正弦波隆起的特征。而 Hermite 插值准确捕捉到了端点向上 $\pi$ 和向下 $-\pi$ 的切线斜率，忠实勾勒出正弦波的穹顶曲线。

这个交互图需要启用 JavaScript。

Hermite 三次插值多项式 H3(x) 拟合正弦函数值与切线斜率，对比水平割线 P1(x)。

Hermite 误差余项定理

定理Hermite 插值误差余项公式

设 $a < b$ ， $f \in C^{2n+2}([a, b])$ 。设 $H_{2n+1} \in P_{2n+1}$ 为在互异节点 $x_0, \dots, x_n$ 处插值函数 $f$ 及其导数 $f'$ 的多项式。对区间内每个固定的点 $x \in [a, b]$ ，存在中间点 $\xi_x \in (a, b)$ 使得

f(x) - H_{2n+1}(x) = \frac{f^{(2n+2)}(\xi_x)}{(2n+2)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i)^2.

证明

若求值点 $x$ 刚好为某个节点 $x_i$ ，两端均为零，结论显然成立。

现固定不同于任何节点的 $x \in (a, b)$ 。定义辅助函数（自变量为 $t \in [a, b]$ ）：

\omega(t) = \prod_{i=0}^n (t - x_i)^2, \quad K = \frac{f(x) - H_{2n+1}(x)}{\omega(x)}, \quad g(t) = f(t) - H_{2n+1}(t) - K \omega(t).

统计 $g(t)$ 的零点重数：

在求值点 $t = x$ 处：根据常数 $K$ 的定义，有 $g(x) = 0$ ；
在每个插值节点 $x_i$ 处：因 $f - H_{2n+1}$ 和 $\omega$ 均在节点处取值为零且导数为零，故 $g(x_i) = 0$ 且 $g'(x_i) = 0$ 。

这意味着 $g(t)$ 在这 $n+1$ 个节点处拥有二重零点，在 $x$ 处拥有单零点。计入重数， $g(t)$ 在区间内至少拥有 $2(n+1) + 1 = 2n + 3$ 个零点。

应用广义 Rolle 定理：

求一次导后， $g'(t)$ 在 $n+1$ 个节点处仍保留一重零点，并在相邻各相异零点之间各产生一个导数零点，共计至少 $2n + 2$ 个零点；
连续求导 $2n + 2$ 次，必然能在区间内找到一点 $\xi_x \in (a, b)$ 满足 $g^{(2n+2)}(\xi_x) = 0$ 。

对 $g(t)$ 连续求导 $2n + 2$ 次：

$H_{2n+1}$ 次数至多为 $2n + 1$ ，求导后归零： $H_{2n+1}^{(2n+2)}(t) \equiv 0$ ；
乘积多项式 $\omega(t) = t^{2n+2} + \mathcal{O}(t^{2n+1})$ 为首一的 $2n+2$ 次多项式，求导后为常数 $(2n + 2)!$ 。

将中值点 $\xi_x$ 代入：

g^{(2n+2)}(\xi_x) = f^{(2n+2)}(\xi_x) - 0 - K (2n + 2)! = 0 \implies K = \frac{f^{(2n+2)}(\xi_x)}{(2n + 2)!}.

代回最初定义的等式，即得所求误差公式。

误差接触几何：二阶相切特征

对比 Lagrange 误差公式与 Hermite 误差公式，可以看出本质差异：

Lagrange 误差项： $\prod (x - x_i)$ 在每个节点处仅有一阶零点，误差曲线以非零斜率直接穿透横轴；
Hermite 误差项： $\prod (x - x_i)^2$ 在每个节点处拥有二重零点。误差曲线在节点处与横轴相切，以抛物线平坦接触的方式紧贴零点。

例误差定量估计与真值比对

以函数 $f(x) = \cos(\pi x) + x$ 在 $[0, 1]$ 上的两点 Hermite 插值为例，四阶导数为 $f^{(4)}(x) = \pi^4 \cos(\pi x)$ ，其最大模长为 $M_4 = \pi^4$ 。

在 $x = 1/4$ 处，理论误差上限为：

|f(1/4) - H_3(1/4)| \le \frac{\pi^4}{24} (1/4)^2 (1 - 1/4)^2 = \frac{3\pi^4}{2048} \approx 0.1427.

真值计算表明： $f(1/4) \approx 0.9571$ ， $H_3(1/4) = 0.9375$ 。真实绝对误差为 $0.0196$ 。理论上界约为真误差的 7.3 倍，给出了可靠的保守保证。

Newton 差商形式与重节点扩展

如同 Lagrange 展开一样，当需要增加新的采样点时，重构 Hermite 基函数需要消耗 $\mathcal{O}(n^2)$ 开销。能否将差商表推广到 Hermite 插值？

极限观察

回顾导数的定义：

\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x_i + \varepsilon) - f(x_i)}{\varepsilon} = f'(x_i).

当两个互异节点彼此无限靠近时，差商自然趋向于导数：

\lim_{x_{i+1} \to x_i} f[x_i, x_{i+1}] = f'(x_i).

这启发我们将每个 Hermite 节点在差商表中连续书写两次：

z_{2i} = z_{2i+1} = x_i, \quad i = 0, 1, \dots, n.

定义重节点差商

对于重节点序列 $z_0, z_1, \dots, z_{2n+1}$ ，一阶差商定义为：

f[z_i, z_{i+1}] = \begin{cases} \frac{f(z_{i+1}) - f(z_i)}{z_{i+1} - z_i}, & \text{当 } z_{i+1} \neq z_i, \\ f'(z_i), & \text{当 } z_{i+1} = z_i. \end{cases}

当外层节点互异时，高阶差商仍沿用标准递归关系：

f[z_i, \dots, z_{i+k}] = \frac{f[z_{i+1}, \dots, z_{i+k}] - f[z_i, \dots, z_{i+k-1}]}{z_{i+k} - z_i}.

定理Hermite 插值的 Newton 形式

利用重节点序列 $z_0, \dots, z_{2n+1}$ ，Hermite 插值多项式可表达为：

H_{2n+1}(x) = f[z_0] + \sum_{k=1}^{2n+1} f[z_0, \dots, z_k] \prod_{j=0}^{k-1} (x - z_j).

正弦算例的差商表求解

设 $x_0 = 0$ 和 $x_1 = 1$ ，对应序列 $z_0 = 0, z_1 = 0, z_2 = 1, z_3 = 1$ 。输入数据为 $f(0) = 0, f'(0) = \pi, f(1) = 0, f'(1) = -\pi$ 。

\begin{array}{c|c|cccc} k & z_k & f[z_k] & \text{一阶差商} & \text{二阶差商} & \text{三阶差商} \\ \hline 0 & 0 & \mathbf{0} & & & \\ 1 & 0 & 0 & \mathbf{\pi} \; (f'(0)) & & \\ 2 & 1 & 0 & \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0 & \mathbf{\frac{0 - \pi}{1 - 0} = -\pi} & \\ 3 & 1 & 0 & -\pi \; (f'(1)) & \frac{-\pi - 0}{1 - 0} = -\pi & \mathbf{\frac{-\pi - (-\pi)}{1 - 0} = 0} \end{array}

读取主对角线各项系数 $c_0 = 0, c_1 = \pi, c_2 = -\pi, c_3 = 0$ ：

\begin{aligned} H_3(x) &= 0 + \pi (x - 0) - \pi (x - 0)(x - 0) + 0 (x - 0)^2 (x - 1) \\ &= \pi x - \pi x^2 = \pi x (1 - x). \end{aligned}

结果与基函数求解严格一致。

算法工程实现细节

在编写算法时，有些实现会用浮点近似 np.isclose(z[i], z[i+1]) 来判断是否为重节点。

这是一个数值隐患：当两个真实独立采样点彼此距离小于容差（例如相距 $10^{-8}$ ）时，会被误判为重节点，强行调用未知的导数值而破坏计算。

工程上应当使用严格的奇偶双索引规则控制：

# 基于结构化奇偶索引填充一阶差商
for i in range(2 * n + 1):
    if i % 2 == 0:
        Q[i, 1] = df_vals[i // 2]  # 重节点处的精确一阶导数值
    else:
        Q[i, 1] = (Q[i + 1, 0] - Q[i, 0]) / (z[i + 1] - z[i])

不完全条件与密切插值

若某些节点并未提供一阶导数，问题该如何求解？

例如只给出 3 个非平衡约束：

节点 $x_1$ 处提供函数值与导数： $H(x_1) = f(x_1), H'(x_1) = f'(x_1)$ ；
节点 $x_0$ 处仅提供函数值： $H(x_0) = f(x_0)$ 。

总约束数为 $N = 3$ ，对应的最小多项式空间为二次空间 $P_2$ 。

将多项式在信息完备的 $x_1$ 点按 Taylor 基展开：

H(x) = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1) + a_2 (x - x_1)^2.

代入 $x_0$ 处的插值条件，立刻解出唯一系数：

a_2 = \frac{f(x_0) - f(x_1) - f'(x_1)(x_0 - x_1)}{(x_0 - x_1)^2}.

任何满足条件的差多项式 $R(x)$ 必须包含因式 $(x - x_0)(x - x_1)^2$ （次数为 3），由 $\deg R \le 2$ 强制得出 $R \equiv 0$ ，证明了解的唯一性。

向 Taylor 展开的渐进极限

当一个区间内的所有节点全部趋于同一个点 $x_0$ 时，匹配 $0, 1, \dots, m$ 阶导数的密切多项式便退化为经典的 Taylor 多项式：

T_m(x) = \sum_{k=0}^m \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k.

因此，Taylor 多项式是全部节点坍缩到单点时的退化极限，而 Lagrange 插值是全部节点互异离散时的对立极限。Hermite 插值恰好居于两者之间，将空间的离散广度与切线的微分深度融为一体。

从全局多项式迈向局部样条

虽然 Hermite 插值能够锁定局部的切线走向，但它仍旧是一种全局多项式方法。当节点数目 $n$ 持续增加时，多项式阶数迅速升高，远离采样点的地方依然可能出现不受控的高次波动。

在实际工程应用中，与其一味提高全局阶数，不如固定使用三次多项式，将整个定义域划分为若干子区间分别拟合，并在接缝处施加严格的光滑拼接。

在下一篇样条插值中，我们将推导兼顾局部灵活性与 $C^2$ 高度光滑的自然三次样条体系。

参考文献

[1] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011. ↩
[2] M. U. School of Mathematics, “MTH2051: Introduction to Computational Mathematics: Course Lecture Notes and Study Workbooks,” 2026. Monash University course materials and study workbooks, Semester 2, 2026. ↩