线性映射与矩阵表示

向量空间规定一类对象内部的运算，线性映射则在空间之间保持这些运算。有了基与坐标，就能准确说明一张矩阵何时足以表示整个映射。

保持线性组合

如果 $T:V\to W$ 满足

$$T(a\mathbf u+b\mathbf v) =aT(\mathbf u)+bT(\mathbf v),$$

就称 $T$ 为线性映射。它把“先组合再处理”与“先处理再组合”联系起来。第一章的响应模型正是在假设这一性质。

这里有两个不同问题：向量空间规定对象内部怎样加、怎样缩放；线性映射规定从一种对象到另一种对象的处理是否保留这些运算。仅有向量作为输入，并不能保证处理过程线性。

一个直接推论是 $T(\mathbf0)=\mathbf0$：把加法保持性质用于 $\mathbf0+\mathbf0$，再消去一项即可。因而加上固定非零偏移的映射不是线性的。例如 $T(\mathbf v)=\mathbf v+\mathbf c$ 更适合称为仿射映射。是否先减去基准值，在建模中有实际意义。

检查线性，必须检查任意输入

保持加法与保持数乘可以分别写为

$$T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v),\qquad T(a\mathbf v)=aT(\mathbf v).$$

两条一起成立，就推出任意两项线性组合的保持性质。反过来，在组合公式中分别取 $a=b=1$，或令一个向量为零，也能得到这两条。因此可以选方便的形式检验，但量词必须覆盖所有输入与标量。

例如，$T(x,y)=(x+2y,3x-y)$ 的输出每个分量都是输入的固定线性组合，所以逐分量展开即可验证线性。

而 $T(x,y)=(x,y^2)$ 虽然把零映成零，却有

$$T(0,2)=(0,4)\ne2T(0,1)=(0,2).$$

一个反例就足以否定线性；检查几个“碰巧成立”的输入却不足以证明线性。

还要区分线性与仿射。在 $T(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf b$ 中，固定偏移 $\mathbf b\ne0$ 破坏了零映到零的性质。但若把输出改为相对于 $\mathbf b$ 的变化量，剩余规则 $\mathbf x\mapsto A\mathbf x$ 是线性的。这解释了为什么建模时经常先减去基准状态。

核、像与方程的解集

线性映射的核与像分别为

$$\ker T=\{\mathbf v:T(\mathbf v)=\mathbf0\},\qquad \operatorname{im}T=\{T(\mathbf v):\mathbf v\in V\}.$$

核收集无法从输出区分的变化；像收集能够产生的输出。线性性保证二者都是各自空间的子空间。

核与像为什么都是子空间

若 $\mathbf u,\mathbf v\in\ker T$，线性性给出

$$T(a\mathbf u+b\mathbf v)=a\mathbf0+b\mathbf0=\mathbf0,$$

所以核对线性组合封闭。它也含零向量。

若 $\mathbf y_1=T(\mathbf u)$、$\mathbf y_2=T(\mathbf v)$ 属于像，则

$$a\mathbf y_1+b\mathbf y_2=T(a\mathbf u+b\mathbf v),$$

仍然是某个输入的像。注意核属于定义域 $V$，像属于陪域 $W$，两者甚至可能有不同维数。

有限维情形的维数关系也可以直接从基证明。取核的一组基，并补成定义域的基。新增基向量的像生成整个像空间，因为核中的部分映为零；它们的像也无关，否则一个非平凡组合会落回核，与扩充后的基无关相矛盾。因此

$$\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.$$

单射、满射与可逆性

$T$ 是单射，当且仅当 $\ker T=\{\mathbf0\}$。若单射，只有零输入能映成零；反过来，若 $T(\mathbf u)=T(\mathbf v)$，则 $\mathbf u-\mathbf v\in\ker T$，核只有零就迫使两个输入相同。

$T$ 是满射，当且仅当 $\operatorname{im}T=W$。因此可逆要求两件事同时成立：所有输出都能达到，而且每个输出只有一个原像。

若 $V,W$ 都有限维，且 $\dim V=\dim W=n$，秩与零空间维数的关系说明，单射与满射等价：核为零就使像维数为 $n$；像等于 $W$ 也使核维数为零。若两端维数不同，这个等价不成立。例如

$$J:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\quad J(x,y)=(x,y,0)$$

是单射但不是满射，而

$$R:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\quad R(x,y,z)=(x,y)$$

是满射但不是单射。后者丢掉了整个 $z$ 方向。

从具体映射读出核、像与全部原像

考虑

$$\begin{gathered} T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\\ T(x,y,z)=(x+y,y+z). \end{gathered}$$

求核就是令输出为零：$x=-y,z=-y$，故

$$\ker T=\operatorname{span}((-1,1,-1)).$$

对任意目标 $(p,q)$，取输入 $(p,0,q)$ 就能到达，所以像是整个 $\mathbb R^2$。这是满射，但一维的核使原像不唯一：

$$T^{-1}(\{(p,q)\}) =\{(p-t,t,q-t):t\in\mathbb R\}.$$

这里的 $T^{-1}$ 表示集合的原像，不意味着 $T$ 存在逆函数。核、像与原像分别回答：哪些变化丢失、哪些输出可达、某个输出来自哪些输入。

一个输出的全部原像

若 $T(\mathbf v)=\mathbf b$ 有一个特解 $\mathbf v_p$，那么全部解恰好为

$$\mathbf v_p+\ker T.$$

因为任意两解之差都映为零，而给特解加上核中的元素仍映为 $\mathbf b$。当 $\mathbf b\ne\mathbf0$ 时，这个解集不含零向量，因此不是线性子空间。

这就是交通流参数解背后的结构。后续电路微分方程中的“齐次解加特解”也会用同一条论证；非线性方程则不能直接套用叠加原则。

有限维线性映射为什么由一张矩阵完全确定

设 $V$ 有有序基 $\mathcal B=(\mathbf b_1,\ldots,\mathbf b_n)$，$W$ 有有序基 $\mathcal C=(\mathbf c_1,\ldots,\mathbf c_m)$。已知 $T$ 对基向量的作用，就能计算任意输入的输出：

$$\mathbf v=\sum_j x_j\mathbf b_j \quad\Longrightarrow\quad T(\mathbf v)=\sum_j x_jT(\mathbf b_j).$$

把 $T(\mathbf b_j)$ 在基 $\mathcal C$ 下的坐标作为矩阵 $A$ 的第 $j$ 列，就得到

$$[T(\mathbf v)]_{\mathcal C}=A[\mathbf v]_{\mathcal B}.$$

左侧是输出向量的坐标，不能把矩阵 $A$ 本身当作空间 $V$ 的元素。

这不仅说明“能找到一个矩阵”，还说明对应关系是唯一的：相同的矩阵给出相同的基向量像，线性性再迫使所有输入的像相同。反过来，任意 $m\times n$ 矩阵都能按这个公式定义一个线性映射。因此，在两端有限维且基已经固定时，线性映射与这些矩阵一一对应。

求导也可以有矩阵表示

考虑次数不超过二的多项式空间 $\mathcal P_2$，基取 $(1,t,t^2)$。求导算子 $D$ 满足

$$D(1)=0,\qquad D(t)=1,\qquad D(t^2)=2t.$$

把三个输出的坐标放成列：

$$[D]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B} =\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

因此系数 $(a,b,c)^{\mathsf T}$ 映成 $(b,2c,0)^{\mathsf T}$，恰好对应 $(a+bt+ct^2)'=b+2ct$。三次作用后得到零矩阵，因为二次以下的多项式求三次导都为零。

这里选定了一个有限维、对求导封闭的空间。全部多项式的空间是无限维的，不能直接用这一张固定大小的矩阵表示其上的完整求导算子；一般函数空间也不能跳过这个限制。

换基改变矩阵，不改变映射

为简化记号，考虑 $T:V\to V$。旧基下的矩阵为 $A$，新基向量在旧基下的坐标组成矩阵 $S$。于是

$$[\mathbf v]_{\mathrm{old}}=S[\mathbf v]_{\mathrm{new}}.$$

先将输入换成旧坐标，施加 $A$，再将输出换回新坐标，得到

$$A_{\mathrm{new}}=S^{-1}AS.$$

例如旧坐标下 $A=\operatorname{diag}(2,1)$，新基取 $(1,1),(1,-1)$，则

$$S=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad A_{\mathrm{new}}=\begin{pmatrix}3/2&1/2\\1/2&3/2\end{pmatrix}.$$

第一列表示：原来的向量 $(1,1)$ 经变换成为 $(2,1)$，在新基下坐标为 $(3/2,1/2)$。映射仍然把旧坐标的第一分量扩大两倍，变化的是描述方法。

两端使用不同基时怎样计算

一般的 $T:V\to W$ 不要求两端是同一个空间。设旧基下矩阵为 $A$，定义域的新基向量在旧基下的坐标组成 $S$，陪域的新基向量在旧基下的坐标组成 $R$，那么

$$A_{\mathrm{new}}=R^{-1}AS.$$

右侧的 $S$ 负责输入坐标，左侧的 $R^{-1}$ 负责输出坐标。只有对同一空间使用同一次换基，才化成 $S^{-1}AS$。

例如恒等映射 $I:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$，定义域用基 $(1,1),(1,-1)$，陪域用标准基，则矩阵为

$$[I]_{\mathrm{standard}\leftarrow\mathrm{new}} =\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$

它并非单位矩阵，因为输入和输出采用不同的坐标系统。输入坐标 $(1,0)$ 表示向量 $(1,1)$，输出的标准坐标自然是 $(1,1)$。只有两端使用相同基时，恒等映射才表示为单位矩阵。

复合映射的中间坐标必须一致

若 $T:U\to V$ 的矩阵为 $A$，$S:V\to W$ 的矩阵为 $B$，且两者在中间空间 $V$ 使用同一组基，那么 $S\circ T$ 的矩阵是 $BA$。

如果一个输出用旧基、另一个输入用新基，就必须先插入换基矩阵，不能仅看数字数组的大小吻合便直接相乘。坐标的语义与维数一样重要。

练习

练习零映到零，是否就说明线性

设 $T(x,y)=(x,y^2)$。它满足 $T(0,0)=(0,0)$，但是否为线性映射？

解答

不是。取 $\mathbf v=(0,1)$，则 $T(2\mathbf v)=(0,4)$，而 $2T(\mathbf v)=(0,2)$，不满足缩放保持性质。零映到零只是线性的必要条件，并非充分条件。

练习把函数映成一个数

对定义在实数上的实值函数，定义 $E(f)=f(0)$。证明 $E$ 是从函数空间到 $\mathbb R$ 的线性映射，并说明为什么它不能唯一恢复原函数。

解答

按逐点运算定义，

$$E(af+bg)=a f(0)+b g(0)=aE(f)+bE(g).$$

因此 $E$ 线性。但零函数与函数 $f(t)=t$ 都映为零，说明这个映射不是单射。保持线性组合与保留全部信息，是两个不同要求。

练习采样映射丢掉什么

在 $\mathcal P_2$ 上定义 $E(p)=(p(0),p(1))$。求核的一组基，并判断它是否满射。

解答

令 $p(t)=a+bt+ct^2$。核的条件为 $a=0,b+c=0$，所以核由 $t(t-1)$ 张成。任意 $(u,v)$ 可由 $p(t)=u+(v-u)t$ 达到，所以满射，但不单射。

练习基的顺序不能省略

若将定义域基的第一、第二个向量交换，而陪域基不变，映射矩阵怎样改变？

解答

矩阵的第 $j$ 列是第 $j$ 个定义域基向量的像，因此交换对应两列。输出坐标基未变，不应同时交换行。这里与图的节点重编号所做的双边置换不同。